Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi Toán Lớp 6

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
Môn thi: Toán lớp 6
Câu 1: (3 điểm) Tính
a) 4. 52 – 3. (24 – 9) 	b) 	c) 
Câu 2: (3 điểm) Tìm x biết 
a) (x - 15) : 5 + 22 = 24	b) -(- 4)	 c) 
Câu 3: (5 điểm)1) Cho: A = 1 – 2 + 3 – 4 +  + 99 – 100.
a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? 
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên? Bao nhiêu ước nguyên? 
2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 
3) Cho a là một số nguyên có dạng a = 3b + 7 (bZ). Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537. 
Câu 4: (3 điểm)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3
b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +  + 201271 + 201272 và 
B = 201273 - 1. So sánh A và B.
Câu 5: (6 điểm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. 
a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tOy = 1300, zOy = 300. Tính số đo tOz.
ĐỀ 2
Câu 1 (6 điĨm ): 1.Tính nhanh:a. - + . b. ( + - )( - - ).
2. So sánh: a. 3200 và 2300 b. 7150 và 3775 c. và .
Cõu 2 (4 điĨm): a.Cho = + ++++ . Chng minh rằng: < 2.
b.Cho = 21 + 22 + 23 +  + 230. Chng minh rằng: chia ht cho 21.
Câu 3 (4 điĨm): Mt ngưi đi t đn với vn tc 24km /h. Mt lát sau mt ngưi khác cịng đi t đn với vn tc 40km /h. Theo d định hai ngưi s gỈp nhau tại nhưng khi đi đưỵc nưa quãng đưng thì ngưi th 2 đi tăng vn tc lên thành 48km /h. Hi hai ngưi s gỈp nhau tại địa điĨm cách bao nhiêu km? Bit rằng quãng đưng dài 160km.
Câu 4 (4 điĨm):Trên đưng thẳng ly điĨm tu ý. V hai tia và nằm trên cng mt nưa mỈt phẳng c b sao cho: = 400, .
Trong ba tia tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?
Gi là tia phân giác cđa gc . Tính gc ?
Câu 5 (2 điĨm): Mt s chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hi s đ chia cho 2737 dư bao nhiêu? ĐỀ 3
Câu I: (6,0 điểm).Tìm x biết: a) 	b) 
c)x= d) 
Câu II: (8,0 điểm)1. Cho S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
a) Chứng minh rằng S 15 b) Tìm chữ số tận cùng của S. c) Tính tổng S.
2. Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao? 
3. Chứng minh rằng: a) 
b) 
Câu III: (3,0 điểm). Một ô tô đi từ A lúc 8h. Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều. Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h.
Câu IV: (3,0 điểm). 1. Cho A = So sánh A với 0,01.
2. Chứng minh rằng: , với " n Î N.
ĐỀ 4
Câu 1 (6đ)
Tìm các chữ số x và y để số . 0 ≤ x, y ≤ 9; x, y N.
Tìm số tự nhiên n sao cho 4n-5 chia hết 2n-1.
Tìm x biết:
Câu 2 (5đ)
Cho 
Tính S từ đó suy ra 3100 chia 4 dư 1
Cho 
So sánh A với 0,01
Câu 3 (3đ) 
Tìm số tự nhiên a để phân số có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu.
Câu 4 (3đ)
	Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 6 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao nhiêu lâu mới đầy bể.
Câu 5 (3đ)
	Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ các tia Ot, Oz sao cho . Trên nửa mặt phẳng bờ xy, không chứa Oz vẽ tia On sao cho 
Trong ba tia Oz, Ot, Ox tia nào nằm giữa hai tia còn lại ? Vì sao ?
Chứng tỏ rằng : hai tia Oz và On là hai tia đối nhau.
Trên hình vẽ có mấy cặp góc phụ nhau ? Vì sao ?
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI 
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1:
(3 điểm)
a) 55
b) 
c) 
1
1
1
Câu 2:
(3 điểm)
a) x= 25
b) x = 12 hoặc x = - 26
c) x = 
1
1
1
Câu 3:
(5 điểm)
1) 
a) A = - 50
b) A 2 cho 5 A không chia hết cho 3
c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên
1
0,5
0,5
2) Ta có 45 = 9.5 mà (5; 9) = 1
Do suy ra 
Do 
Nên b = 0 hoặc 5
TH1: b = 0 ta có số 
Để thì (2 + 4 + a + 6 + 8 + 0) 9
 Hay a + 20 9
 Suy ra a = 7 ta có số 247680
TH2: b = 5 ta có số 
Để thì (2 + 4 + a + 6 + 8 + 5) 9
 Hay a + 25 9
 Suy ra a = 2 ta có số 242685
Vậy để thì ta có thể thay a = 7; b = 0 hoặc a = 2; b =5
0,5
0,5
0,5
3) Số nguyên có dạng a = 3b + 7 (bZ) hay a là số chia cho 3 dư 1
 Vậy a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau
a = 2002; a = 22789 ; a = 29563 
0,5
1
Câu 4:
(3 điểm)
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3
Gọi số cần tìm là a 
Ta có a chia cho 9 dư 5 
 a = 9k + 5 (k N) 2a = 9k1 + 1 (2a- 1) 9
Ta có a chia cho 7 dư 4 
 a = 7m + 4 (m N) 2a = 7m1 + 1 (2a- 1) 7
Ta có a chia cho 5 dư 3 
 a = 5t + 3 (t N) 2a = 5t1 + 1 (2a- 1) 5
(2a- 1) 9; 7 và 5
Mà (9;7;5;) = 1 và a là số tự nhiên nhỏ nhất
 2a – 1 = BCNN(9 ;7 ; 5) = 315
Vậy a = 158
b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +  + 201271 + 201272 và 
B = 201273 - 1. So sánh A và B.
Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +  + 201271 + 201273
Lấy 2012A – A = 201273 – 1
Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5:
(6 điểm)
Vẽ hình đúng 
a) 
Trên tia Oy ta có OM = 1 cm < OB = 4 cm
Vậy M là điểm nằm giữa O và B
Do M nằm giữa O và B ta có OM + MB = OB
 MB = OB – OM = 4 – 1 = 3
Do A thuộc tia Ox M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M suy ra OM + OA = MA
 MA = 2 + 1 = 3 cm
Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đối nhau, M lại nằm giữa O và B nên suy ra M nằm giữa A và B 
Vậy M là trung điểm của AB
b) TH1: Tia Ot và tia Oz trên cùng một nữa mặt phẳng
Do yOt = 1030 , yOz = 300 suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy. Ta có tOz = tOy – yOz = 1300 – 300 = 1000
 TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là xy
Suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz
 Ta có tOz = tOy – yOz = 1300 + 300 = 1600
(Học sinh không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai không tính điểm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng nội dung bài làm cho 20 điểm.
- Nếu trình bày theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. 
	- Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần và được làm tròn số đến 0,5đ.
Câu
Đáp án
Điểm
Câu I:
(6,0 điểm)
a) 1,5 điểm
x = 
x = 
x = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
b) (1,5 điểm)
 = -12 + 17
 = 5
3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5
3x = 4 3x = - 6
 x = x	 = - 2
Vậy x = ; x = - 2
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
c) (1,5 điểm)
= 
= 
= 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
d) (1,5 điểm)
Vì 
= 
= 
Nên ta có 
20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19
[ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19
[2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1
2,04 : (x + 1,05) = 1 . 0,12
x + 1,05 = 2,04 : 0,12
x + 1,05 = 17
x = 17 - 1,05
x = 15,95
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu II:
(8 điểm)
1. (3,0 điểm)
a) (1,25 điểm)
S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: 
S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + ... + (297 + 298 + 299 + 2100)
= 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + ... + 297 (1 + 2 + 22 + 23)
= 2 . 15 + 25 . 15 + ... + 297 . 15
= 15 (2 + 25 + ... + 297) 15 (ĐPCM)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b) (0,75 điểm)
Vì S 15 Þ S 5 (1)
Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S 2 (2)
Từ (1) và (2) Þ S 10 hay S có chữ số tận cùng là 0.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c) (1,0 điểm)
2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + ... + 2100) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
 S = (22 + 23 + 24 + ... + 2101) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
hay S = 2101 - 2
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2. (2,0 điểm)
	Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x 
Ta có:	(x - 1) : 2 + 1 = n
Þ 	(x - 1) : 2 = n - 1
Þ	x - 1 = (n - 1). 2
Þ	x - 1 = 2n - 2
Þ	x = 2n - 2 + 1
Þ	x = 2n - 1
Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... ; 2n - 1
Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là:
	1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
 = (2n - 1 + 1) . n : 2 = 2n . n : 2 = n2 là một số chính phương.
Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương. 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ
0,25đ
3. (3,0 điểm)
a) (1,5 điểm)
Ta có	 1 - 
	= 1 + 
	= 
	= 
	= (ĐPCM)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) (1,5 điểm)
Ta có:	 1 . 3 . 5 ..... 99 = 
= 
= 
= 
= (ĐPCM)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu III:
(3 điểm)
Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h.
Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h = 
Một giờ xe thứ nhất đi được : (quãng đường AB).
Một giờ xe thứ hai đi được : (quãng đường AB).
Phân số chỉ 20km là : - = (quãng đường AB)
Vậy quãng đường AB dài : 20 : = 360 (km)
Vận tốc xe thứ nhất là : 360 . = 60 (km/h)
Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi trước xe thứ hai 1 giờ). Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = 3 (h)
Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 . 2 = 240 km. 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Câu IV:
(3 điểm)
1. (1,5 điểm)
A = 
Đặt B = 
Vì 
Nên A 0 ; B > 0
Þ A2 < A . B = 
= 
= 
Þ 	A2 < (0,01)2
Hay 	A < 0,01
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
2. (1,5 điểm)
Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = 
Vì n Î N Þ n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6
Þ không bao giờ có tận cùng là 7.
Þ không bao giờ có tận cùng là 0.
Þ 10, với " n Î N (ĐPCM)
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
a)
 b)
 c)
Để số 
 y = 1; 3; 5; 7; 9
 hoặc x+y = 16 
 6 ; 4 ; 2 ; 0 ; 7 ; 9
Vậy ta có số 26712
 ta có số 24732
 ta có số 22752
 ta có số 20772
 ta có số 27792
 ta có số 29772
 mà 
Nên 
Hay 
Để 
 Ư(3) = {1 ; 3}
Do đó n {1 ; 2}
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2.
a)
 b)
Nhân hai vế với 3 ta có :
+ 
 vì 
Nên hay 
Hay 3100 : 4 dư 1
Đặt 
Vì 
Nên mà 
Vậy 
hay 
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Câu 3.
Đặt : nếu A đạt GTLN thì 2A cũng đạt GTLN.
là số nguyên dương nhỏ nhất.
vì nên (2a – 1) min khi và chỉ khi a = 1
với a = 1 thì phân số có GTLN
và GTLN đó bằng 
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
Coi dung tích của bể là 1 đơn vị
Trong 4 giờ hai vòi chảy được bể
Trong 2 giờ vòi thứ hai chảy được bể
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể hết
 giờ
Một giờ vòi thứ nhất chảy được bể
Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể hết
 giờ
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5
a)
 b)
c)
Trong ba tia Oz, Ot, Ox thì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.
giải thích : vì hai tia Ox, Oy đối nhau nên 
2 tia Oz, Ot cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và 
vì 
suy ra, hai tia Oz và On là hai tia đối nhau.
Trên hình vẽ có 2 cặp góc phụ nhau là 
 và  ; và 
vì tổng của chúng đều bằng 90o
0,25
0,5
0,75
0,75
0,75