Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học: 2016 - 2017 Môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2017-2017
MÔN:TOÁN
Đề chính thức
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi có: 02 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1: Với x 1, giá trị rút gọn của biểu thức: A = - là:
	A. 0	B. 2	C. 	D. 2
Câu 2: x0 = + là một nghiệm của phương trình nào:
	A. x3 - 3x2 + x - 20 = 0	B. x3 + 3x2 - x - 20 = 0	C. x2 + 5x + 4 = 0	D. x2 - 3x - 4 = 0
Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khoảng cách giữa hai điểm A(-2; 1) và B(4;9) là:
	A. 	B. 10	C. 	D. Đáp án khác
Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, để 3 đường thẳng y = 2x - 5 ; y = x + 2 và y = ax - 12 đồng quy tại một điểm thì giá trị của a là:
	A. 7	B. 9	C. - 3	D. 3
Câu 5: Cho đường thẳng (d): y = -x + 1 và điểm M(0; -1). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:
	A. 1,4	B. 	C. 	D. 1,5
Câu 6: Giá trị lớn nhất của hàm số y = là:
	A. 	B. 3	C. 	D. 7
Câu 7: Biết rằng phương trình 3x2 - 4x + mx = 0 (m là tham số) có nghiệm nguyên dương bé hơn 3. Khi đó giá trị của m là:
	A. - 1	B. 1 	C. - 2 	D. 2
Câu 8: Số nghiệm của phương trình: = x - 1 là:
	A. 1	B. 2	C. 3	D. Đáp án khác
Câu 9: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Một đường thẳng đi qua M thuộc cạnh AB và song song với BC, cắt AC ở N, sao cho AN = BM, khi đó độ dài của đoạn AM là:
	A. 3cm	B. 6cm	C. 5cm	D. 4cm
Câu 10: Cho tam giác ABC có = 2; AC = 9cm; BC = 12cm. Độ dài đoạn AB là:
	A. 7cm	B. 16cm	C. 8cm	D. Đáp án khác
Câu 11: Cho tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 6cm; = 1200. Độ dài đường phân giác AD của tam giác ABC là:
	A. 	cm	B. 2cm	C. 3cm	D. cm
Câu 12: Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng , tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC = . Khi đó tanB = 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh a là: 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD song song với nhau, biết AB = 3cm; CD = 4cm, khoảng cách giữa hai dây là 3,5cm. Bán kính đường tròn (O) là:
	A. 1,5cm	B. 2cm	C. 2,5cm	D. 3cm
Câu 16: Trong hộp có 100 viên bi, bao gồm 25 viên màu xanh, 30 viên màu đỏ, 35 viên màu vàng, 10 viên còn lại là bi màu nâu và màu tím. Lấy ngẫu nhiên một số viên bi trong hộp. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để trong số đó chắc chắn có 5 viên bi màu vàng.
	A. 71 viên	B. 90 viên	C. 65 viên	D. Đáp án khác
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1: (3 điểm)
	a) Tìm số tự nhiên x để giá trị của biểu thức x2 + 3x + 1 là số chính phương
	b) Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức:
	A = + + 
Câu 2: (3,5 điểm)
	a) Giải phương trình: 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0
	b) Giải phương trình: + = 7
Câu 3: (4 điểm)
	Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Kẻ OH xy tại H. Lấy một điểm A bất kỳ thuộc xy. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt AO tại K và cắt đường tròn tại C.
a) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Chứng minh rằng: Khi A di động trên đường thẳng xy thì dây BC luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4: (1,5 điểm)
	Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = 1.
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = + + 
.....Hết.....
Họ và tên thí sinh:...............................................................SBD:..................
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./..
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 03 trang
A. Một số chỳ ý khi chấm bài.
Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Đáp án
C
A,D
B
D
B
C
B,C
A
D
A
B
B
A
D
C
D
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1: (3 điểm)
	a) Tìm số tự nhiên x để giá trị của biểu thức x2 + 3x + 1 là số chính phương
	b) Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức:
	A = + + 
Nội dung
Điểm
a) Với x N ta có: x2 + 2x + 1 x2 + 3x + 1 < x2 + 4x + 4
 hay (x + 1)2 x2 + 3x + 1 < (x + 2)2
0,5
 Do đó để x2 + 3x + 1 là số chính phương 
 thì x2 + 3x + 1 = (x + 1)2
0,5
 x2 + 3x + 1 = x2 + 2x + 1
 x = 0
Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức x2 + 3x + 1 là số chính phương
0,5
b) Vì x, y, z là các số dương nên từ xyz = 100 => = 10
0,25
Thay vào biểu thức đã cho ta được:
A = + + 
 = + + 
0,75
 = + + 
 = = 1
0,5
Câu 2: (3,5 điểm)
	a) Giải phương trình: 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0
	b) Giải phương trình: + = 7
Nội dung
Điểm
a) Ta có: 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0
 4x3 + (x3 + 3.x2.2 + 3.22.x + 23) = 0
 (x + 2)3 = - 4x3
0,5
 x + 2 = - .x
 (1 + ).x = - 2
0,5
 x = Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 
0,5
b) ĐK: x - 15
0,25
Đặt a = ; b = (b 0)
0,25
Ta có: 
0,5
Tìm được: a = 1; b = 6
0,5
Suy ra: x = 21 Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 21
0,5
Câu 3: (4 điểm)
	Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Kẻ OH xy tại H. Lấy một điểm A bất kỳ thuộc xy. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt AO tại K và cắt đường tròn tại C.
a) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Chứng minh rằng: Khi A di động trên đường thẳng xy thì dây BC luôn đi qua một điểm cố định.
Nội dung
Điểm
a) Chứng minh: ACO = ABO (c.g.c)
1
 => AC OC mà OC = R 
 => AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
1
b) Gọi I là giao điểm của BC và OH
+ Chứng minh: OIK và OAH đồng dạng
 => => OI.OH = OK.OA (1)
0,5
+ Xét ABO vuông tại B, đường cao BK ta có: OK.OA = OB2 (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra: OI.OH = OB2 => OI = = (không đổi)
0,5
=> I cố định
Vậy khi A di động trên đường thẳng xy thì dây BC luôn đi qua điểm I cố định.
0,5
Câu 4: (1,5 điểm)
	Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = 1.
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = + + 
Nội dung
Điểm
Ta chứng minh BĐT: a3 + b3 ab(a + b) với a, b > 0 (*)
Thật vậy (*) a3 + b3 - a2b - ab2 0
 a2(a - b) - b2(a - b) 0
 (a - b)(a2 - b2) 0
 (a - b)2.(a + b) 0 luôn đúng (do a, b > 0)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
0,25
Áp dụng (*) có: x3 + y3 + 1 = x3 + y3 + xyz xy(x + y) + xyz = xy(x + y + z) > 0
 tương tự có: y3 + z3 + 1 yz(x + y + z) > 0
 z3 + x3 + 1 zx(x + y + z) > 0
0,5
Suy ra: A + + = = 1
0,5
Vậy MaxA = 1 đạt được khi x = y = z = 1
0,25