Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 – 2017 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn Toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 5/4/2017
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)
Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 
Tính giá trị biểu thức: 
Câu 2. (4 điểm): Giải phương trình:
a) 
b) 
Câu 3. (5 điểm): 
Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.
Chứng minh rằng: .
Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.
Chứng minh rằng: .
Câu 4. (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.
Gọi G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: IG//BC.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: A, M, I, N cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh là số nguyên. Chứng minh rằng: Bán kính đường tròn nội tiếp cũng là số nguyên.
--- Hết ---
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MÔN TOÁN 9 – TỈNH ĐỒNG NAI 2016 – 2017
Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 
Tính giá trị biểu thức: 
Giải: Theo bài ra: 
Suy ra: 
Ta được :
Câu 2. (4 điểm): Giải phương trình:
a) b) 
Giải: 
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2 or x = 4
b) . ĐKXĐ: 
Giải phương trình (1):
Giải phương trình (2): ( )
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x =2; .
Câu 3. (5 điểm): 
Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.
Chứng minh rằng: .
Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.
Chứng minh rằng: .
Giải: 
a)
 (đúng với x, y >0)
Vậy: với x, y >0.
b) Ta có: Với x>0, y >0 với x + y = 1 thì x = 1 – y và y = 1 – x;
Do x>0, y> 0, Áp dụng Côssi cho 2 số dương: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Câu 4. (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7.
Gọi G, I lần lượt là trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: IG//BC.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh: A, M, I, N cùng nằm trên một đường tròn.
a. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường phân giác của góc A, góc B, góc C. Gọi T là trung điểm của BC.
Do AD là đường phân giác của tam giác ABC nên:
 Tam giác ABD có BI là đường phân giác nên : (1)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Suy ra: IG//DT hay IG//BC.
b) Cách 1: BMI = BDI (c.g.c) vì: BD = BM = 2,5; ; BI là cạnh chung;
Suy ra 
Chứng minh tương tự: CNI= CDI (c.g.c) 
Suy ra 
Mà nên 
 suy ra 
Nên tứ giác AMIN nội tiếp.
Cách 2: Gọi K là giao điểm của MN và AI
Ta có: Theo công thức độ dài đường phân giác: 
Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC, suy ra K cũng là trung điểm của AI.
Do MK là đường trung bình của tam giác ABD nên MK = 
Và NK = 
Ta có 
 ; 
Suy ra 
Ta có: ; 
Suy ra AK.KI=KM.KN 
Suy ra AKMNKI suy ra suy ra tứ giác AMIN nội tiếp.
Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh là số nguyên. Chứng minh rằng: Bán kính đường tròn nội tiếp cũng là số nguyên.
Giải: 
Gọi đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với AC, CB, BA.
Theo tính chất đường tròn nội tiếp ta có: 
Mà tứ giác ADIF là hình vuông nên 
Ta chỉ cần chứng minh (b + c – a) chia hết cho 2.
Thật vậy: Theo Py – ta – go:
Do nên (b + c - a) và (b + c +a) có cùng tính chẵn lẻ mà là số chẵn nên (b + c - a) và (b + c + a) cùng là số chẵn . Suy ra