Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2014 - 2015 môn: Toán

PHềNG GD-ĐT ................... KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 	 Năm học : 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC	 	 Mụn : TOÁN 	 
 Thời gian làm bài : 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Cho biểu thức P = 
 a) Tìm điều kiện của x để P được xác định.
 b) Rút gọn P.
 c) Tìm x khi P = 1.
Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các bộ ba số thực x, y, z thoả:
Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Cho , với nN . Chứng minh rằng, nếu T là số tự nhiên thì T là số chính phương.
Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Cho đường trũn (O, R) và điểm A với OA = 2R. Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AE và AF đến (O). (E, F là 2 tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D (O nằm giữa A và C).
	a) Tớnh diện tớch tứ giỏc AECF theo R.
	b) Từ O vẽ đường thẳng vuụng gúc với OE cắt AF tại M. Tớnh tỷ số diện tớch hai tam giỏc OAM và OFM.
	c) Đường thẳng kẻ từ D vuụng gúc với OE cắt EC tại Q. Chứng minh cỏc đường thẳng AC, EF và QM đồng qui.
-----------------------------------------------HẾT------------------------------------------
UBND THỊ XÃ BA ĐỒN
 PHềNG GD&ĐT
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THỊ XÃNĂM HỌC 2014 - 2015
Mụn: TOÁN 
* Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một lời giải cho mỗi cõu. Trong bài làm của học sinh yờu cầu phải lập luận lụgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rừ ràng.
* Trong mỗi cõu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thỡ cho điểm 0 đối với những bước giải sau cú liờn quan.
* Điểm thành phần của mỗi cõu núi chung phõn chia đến 0.25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0.5 điểm thỡ tựy tổ giỏm khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm.
* Học sinh khụng vẽ hỡnh đối với Cõu 4 thỡ cho điểm 0 đối với Cõu 4. Trường hợp học sinh cú vẽ hỡnh, nếu vẽ sai ở ý nào thỡ cho điểm 0 ở ý đú. 
* Học sinh cú lời giải khỏc đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn cho điểm tối đa tựy theo mức điểm của từng cõu.
* Điểm của toàn bài là tổng (khụng làm trũn số) của điểm tất cả cỏc cõu.
Cõu
Nội dung
Điểm
1
 P =
a) Ta phải có : 
0.5
b) P = =
0.5
 = =
0.25
 = = x - 
0.25
c) Với x > 1: P = 1 x - = 1 x - 1 - = 0 
0.25
 = 0 
0.5
 x - 1 = 4 x = 5
0.25
2
 Ta có: 
 + + + + + = 34 (1)
0.5
 Với điều kiện: x > 2014, y > 2015, z > 2016, theo Cauchy: + 12 (2)
 + 12 (3)
 + 10 (4)
0.25
0.25
0.25
Suy ra: + + + + + 34 (5)
0.5
Như thế (1) xảy ra khi chỉ khi dấu đẳng thức ở (5) xảy ra, khi chỉ khi các dấu đẳng thức ở (2),(3),(4) đồng thời xảy ra, khi chỉ khi:
0.25
0.5
3
 Trước hết nhận xét rằng : Nếu tích của hai số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số cũng là một số chính phương.	
0.5
Nếu T là một số tự nhiên thì 12n2 + 1 là một số chính phương lẻ.
0.25
Giả sử : 12n2 + 1 = (2k - 1)2 ; k 
hoặc 	
0.5
Xét trường hợp , ta có :. Do và k - 1 là 
các số nguyên tố cùng nhau, nên : .	
Suy ra : a2 = 3b2 - 1. Điều này vô lí ! (Vì 3b2 - 1 chia cho 3 dư 2, , trong khi a2 chỉ cú thể chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1, ) 
0.5
Với trường hợp . Khi đó : 
0.25
Do k và (k - 1) là hai số nguyên tố cùng nhau, nên : 
0.25
Khi đó : T = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4c2 = (2c)2 là một số chính phương. (đ.p.c.m) 
0.25
4
E
Q
I
D
C
A
O
M
F
0.25
a)Ta cú AE = AF (t/c tiếp tuyến) và OE = OF = R nờn OA là đường trung trực của đoạn thẳng EF. Gọi I là giao điểm của AC và EF tại I thỡ OA ^ EF và IE = IF
D OEA cú = 900 (t/c tiếp tuyến) và EI ^ OA
nờn OE2 = OI . OA 
DOIE cú = 900 nờn EI2 = OE2 - OI2 
 = R2 - 
EF = 2EI = .R và AC = AO + OC = 2R + R = 3R
SAECF = . AC . EF = . 3R . . R = 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b)Ta cú OM // AE (cựng ^ OE) nờn 
mà . Do đú 
Suy ra DOMA cõn tại M MO = MA
 = 
mà 
sin = 
Do đú = 600 nờn = = 
0.25
0.25
0.25
0.25
 c) Ta cú: EDFO là hỡnh bỡnh hành (cú 2 đường chộo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), nờn : DE //= OF, do đú: 
Vỡ: DQ // MO (cựng vuụng gúc OE) nờn: 
Từ đú suy ra: .
Mặt khỏc: tam giỏc DEC cú nờn nú là tam giỏc vuụng, do đú: .
Từ đú ta cú: (g.c.g), suy ra QD = OM.
Do đú: QDMO là hỡnh bỡnh hành.
Suy ra QM và DO giao nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà I là trung điểm của OD (OI = ID = )
Nờn I là trung điểm của QM
Vậy AC, EF và QM đồng quy tại I.
0.25
0.25
0.25
0.25