Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 huyện Hải Lăng năm học 2015-2016 môn: Toán - Vòng 2

ĐỀ CHÍNH THỨC 
VÒNG 2
PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4 điểm):
a) Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13
b) Rút gọn biểu thức: A = (2+1)(22+1)(24+1) ....... (2256 + 1) + 1
Bài 2 (4 điểm): 
a) Tính A = x2015 + y2015 + z2015. Biết x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên
Bài 3 (4 điểm): Giải phương trình: x3 - x2 - x = 
Bài 4 (4 điểm): Cho ∆ABC vuông cân tại A, trung tuyến BM, qua A kẻ đường thẳng vuông BM cắt BC tại D. Chứng minh: BD = 2DC.
Bài 5 (4 điểm): Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân, đỉnh F có góc đáy là 150. Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều.
-------------- Hết --------------
Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:	.......	Số BD: .
HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG 2
MÔN TOÁN 9 (2015-2016)
Bài 1 (4 điểm) : 
a) (2đ) Ta có: 270 + 370 = ( 22)35 + (32)35 = 435 + 935⋮(4 + 9) hay (435 + 935)⋮13
Vậy 270 + 370 ⋮13
b) (2đ) Ta có:
	A = (2-1)(2+1)(22+1) ........ (2256 + 1) + 1
	 = (22-1)(22+1) .......... (2256 +1) + 1
	 = (24-1)(24+ 1) ......... (2256 +1) + 1
	................ 
	 = [(2256)2 –1] + 1 = 2512 
Bài 2 (4 điểm): a) Tính A = x2015 + y2015 + z2015 
Với x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1
 (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0
 3(x + y)(y + z)(z + x) = 0
Nếu x + y = 0 thì z = 1 => A = 1
Nếu y + z = 0 thì x = 1 => A = 1
Nếu z + x = 0 thì y = 1 => A = 1
Tóm lại với x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 thì A = x2015 + y2015 + z2015 = 1
b) P = 	(0,5đ)
	x nguyên do đó x + 2 có giá trị nguyên
để P có giá trị nguyên thì phải nguyên hay 2x - 1 là ước nguyên của 5 (0,5đ)
=> 	* 2x - 1 = 1 => x = 1
	* 2x - 1 = -1 => x = 0
	* 2x - 1 = 5 => x = 3
	* 2x - 1 = -5 => x = -2	(0,5đ)
	Vậy x = thì P có giá trị nguyên. 
Khi đó các giá trị nguyên của P là: 
	x = 1 => P = 8
	x = 0 => P = -3
	x = 3 => P = 6
	x = -2 => P = -1 (0,5đ)
Bài 3 (4 điểm): 
Phương trình đã cho tương đương với : 3(x3 - x2 - x) =1 4 x3 = x3 + 3x2 + 3x+1 4x3 = (x + 1)3 vậy nghiệm là: x = 
Bài 4 (4 điểm): 
Dựng hình vuông ABEC, gọi N là trung điểm AB, EN cắt BD tại K,hai tam giác giác vuông MAB và NBE bằng nhau (c.g.c) NE ^ BM mà AD ^ BM
NE // AD, ∆ABD có NA =NB, NK //AD BK = KDBD = 2BK(1)
Khi ∆MAB = ∆ NBE =mà = 
= 
Xét ∆EKBvà ∆ADC có= , EB = AC, =(=450)
∆EKB= ∆ADC (g.c.g) BK = DC2BK = 2DC(2),
 từ (1) và (2) suy ra BD = 2DC.
Bài 5 (4 điểm): 
 2 	
 	 I
	 2
	 F 2
 	 H	
	 150	 150 2
	 D	 C
	 	F	F
	A	 B	
Dựng tam giác cân BIC như tam giác AFB có góc đáy 150 . 
Suy ra : (1) .
Ta có (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2).
Từ (1) và (2) suy ra : đều .
Đường thẳng CI cắt FB tại H . Ta có: = 300 ( góc ngoài của ).
Suy ra: = 900 ( vì = 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH là đường trung trực của . Vậy cân tại C . Suy ra : CF = CB (3)
Mặt khác : cân tại F . Do đó: FD = FC (4).
 Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
 Vậy đều.
Thí sinh giải cách khác đúng vẩn dạt điểm tối đa.