Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Ba Vì năm học: 2015- 2016 môn: Toán

PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
HUYỆN BA VÌ 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
Năm học: 2015- 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 10- 12- 2015
(Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức 
A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 
Bài 2: (4 điểm) 
Giải phương trình: 
Tìm số nguyên x, y biết: 
Bài 3: (4 điểm)
Cho hàm số bậc nhất: y = có đồ thị là đường thẳng (d).
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) bằng 
Cho 3 số dương thỏa mãn: 
Chứng minh rằng: xyz 
Bài 4: (5 điểm) Cho (O;R) và một đường thẳng a cố định nằm ngoài (O;R). Trên đường thẳng a lấy điểm M, từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt (O;R) tại E và F (E nằm giữa M và O).
Chứng minh rằng: MA2 = ME.MF
Tính góc AMB biết 
Chứng minh rằng: Khi M chuyển động trên đường thẳng a thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: (2 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM.
Bài 6: (1 điểm) cho 3 số a, b, c khác 0 và khác nhau từng đôi một thỏa mãn điều kiện
 Tính giá trị của biểu thức A = + + 
---------Hết---------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !
Họ và tên thí sinh:............................................................Số báo danh.......... 
PHÒNG GD&ĐT
HUYỆN BA VÌ 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 HUYỆN BA VÌ
Năm học: 2015- 2016
Môn: Toán
Bài 1: (4 điểm)
(2,5 điểm) 
*Đkxđ: x≥0;x≠4;x≠9. 
A=x-2xx-4-1:4-xx-x-6-x-23-x-x-3x+2 
=x-2x-x+4x-4: 4-xx-3x+2+x-2x+2x-3x+2-x-32x-3x+2
=-2x-2x-4: 4-x+x-4-x-32x-3x+2
=-2x+2 : -x-32x-3x+2=-2x+2 .x+2-x-3=2x-3
b) (1,5 điểm) Ta có:
	x = = = 
 = = = 
	= = = 1
Thay vào biểu thức được A = = - 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2: (4 điểm) 
(2điểm) Giải phương trình: x2+9x+20=23x+10 (1)
	*Đkxđ: x≥-103	
	Ta có: (1) Û x2+6x+9+3x+10-23x+10+1=0 
	 Û x+32+3x+10-12=0 
 Û x+3=03x+10-1=0 Û x=-3 (tmđk)
KL: ...
(2 điểm) Tìm số nguyên x, y biết: 2xy-x+y=3
Û x(2y-1)+y=3 Û 2x2y-1+2y-1=5Û (2x+1)2y-1=5
Vì x,y ∈Z Þ 2x+1 và 2y-1 ∈Ư5= ±1;±5
2x+1
1
-1
5
-5
2y-1
5
-5
1
-1
x
0
-1
2
-3
y
3
-2
1
0
Kết luận
tmđk
tmđk
tmđk
tmđk
KL: Vậy:.......
0,25 đ
1 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,75 đ
0,25 đ
0,75đ
0,25đ
Bài 3: (4 điểm)
(2 điểm)
y
x
Ox
m-1
-m+1
A
H
-Vẽ hình đúng: 0,5 đ
d
Gọi giao điểm của B
(d) với Ox và Oy lần lượt là A và B
Þ A(-m+1; 0); B(0; m-1)
Gọi khoảng cách từ O tới (d) là OH
Þ∆AOB vuông tại O có đường cao OH
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆vuông 
Ta có: 1OH2=1OA2+1OB2
 Û1(2)2=1-m+12+1m-12 
 Û1(2)2=2m-12Û...Û m=3 hoặc m=-1
-KL:......
2) 
	 + + 2 1 - + 1 - + 
 Vì x, y, z dương nên và dương
 Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương, ta có: + 2 
 Do đó 	(1)
Tương tự: 	 	(2)
 	(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: .. 23. xyz 
Dấu “=” xảy ra khi:x1+x=y1+yy1+y=z1+zz1+z=x1+xÛ x=y=z
0,5đ
1đ
0,5 đ
0,75 
0,5đ
0,25
Bài 4 (5 điểm)
- Vẽ hình đúng đến câu a): (0,5đ)
a) (1,5 điểm)
- Nối A với E và F Þ∆AEF nội tiếp (O) có EF là đường kính Þ∆AEF vuông tại A
 Þ A2+ A3=90o (1)
-MA là tiếp tuyến của (O) Þ MA ^ OA Þ A2+ A1=90o (2)
-Từ (1) và (2) Þ A1= A3 (3)
-∆AOF cân tại O Þ A3= F1 (4)
-Từ (3) và (4) O Þ A1= F1 từ đó Þ ∆MAE ~ ∆MFA (g.g)
 MAMF=MEMA Û MA2=ME.MF (đpcm)
b) (1,5điểm)
ta có MAME = 3 Û MA=3.ME mà MA2=ME.MF ( theo phần a) 
Û 3ME2=ME.MFÛ 3ME=MFÛ 3ME=ME+EF Û ME=R 
 Ta có: MO=ME+EO=2R
∆MAO vuông tại A, theo TSLG 
ta có: sinM1=OAOM=R2R=12 Þ M1=30o
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có M1=M2
Suy ra AMB= 2M1=2.30o=60o
c) (1,5 điểm)
- kẻ OH ^ a (H ∈a) vì (O;R) cho trước, đường thẳng a cố định Þ OH cố định
- Gọi I, K là giao điểm của AB với OH và OM
Ta có: MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
 OA = OB (bán kính R)
Þ OM là đường trung trực của AB Þ MO ^ AB
Þ ∆OKI ~ ∆OHM
Þ OKOH=OIOM Þ OI=OK.OMOH (5)
Mặt khác ∆MAO vuông tại A có đường cao AK
Suy ra OA2= OK.OM thay vào (5) ta có: OI2=R2OH 
Þ OI không đổi Þ điểm I cố định
- Vậy khi điểm M chuyển động trên đường thẳng a thì AB luôn đi qua điểm I cố định
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,75 đ
0,5 đ
0,25đ
0,5 đ
Bài 4: (2 điểm) 
-vẽ hìnhđúng đến câu a) : 0,25 đ 
A
C
M
D
E
B
H
O
H
O
-Gọi H là hình chiếu của M trên AB
Ta có: MH MO = R
Vẽ đường thẳng qua A song song với CD cắt BD tại E
Ta có: AC AB, DB AB (AC, BD là các tiếp tuyến của đường tròn).
	 AC // DB.
Tứ giác ACDE có AC // DE, CD // AE nên là hình bình hành.
	 CD = AE.
Mà AE AB = 2R (vì AB BE)
	CA = CM, DB = DM (tính chất tiếp tuyến).
	SABCD = (AC + BD).AB
	= (CM + DM).2R = R.CD R.2R = 2R2
	SMAB = MH.AB = R.MH R.R = R2
Do đó SABCD - SMAB R2 SACM + SBDM R2
	Dấu “=” xảy ra 
M là điểm chính giữa của cung AB
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM là R2.
0,75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 6: (1 điểm) 
cho 3 số a, b, c khác 0 và khác nhau từng đôi một thỏa mãn điều kiện
 Tính giá trị của biểu thức A = + + 
-Từ 
Tương tự ta có 
Từ đó ta có:
0,25đ
0,5đ
0,25đ