Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 7 THCS năm học 2013 – 2014 môn: Toán

 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian thi: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
ĐỀ BÀI
Bài 1. (4,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
 Tìm x, biết: .
Bài 2. (3 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình .
Bài 3: (4 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Tính diện tích hình vuông, biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh hình vuông là 59 giây.
Bài 4: (7 điểm) Cho =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az tại K và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh :
 a ) K là trung điểm của AC.
 b ) KMC đều.
 c)	Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM.
Bài 5: (2 ®iÓm) .
 Cho S =.
 Chøng minh r»ng S kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
 ..................Hết.....................	
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh..................................................SBD..............................
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
a) (2 đ)
0,5đ
0,5
0.5đ
0.5đ
2) vì nên (1) => hay 
+) Nếu x 1 thì (*) = > x -1 = 2 => x = 3 
+) Nếu x x -1 = -2 => x = -1
KL:.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 2
(3đ)
Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 xyz
Theo bài ra 1 = ++ + + = 
 => x 2 3 => x = 1
Thay vào đầu bài ta có => y – yz + 1 + z = 0 
 => y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0
 => (y-1) (z - 1) = 2
TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3
TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2
Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 3
(4 đ)
Cùng một đoạn đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
Ta có: và 	
hay: Do đó:
; ; 
Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 
Vậy diện tích hình vuông là S = 3600 m2 . 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1đ
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(7 điểm)
V ẽ hình , GT _ KL 
a, ABC cân tại B do và BK là đường cao BK là đường trung tuyến
 K là trung điểm của AC 
b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )
 BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC
 BH = AC
Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC
 CM = CK MKC là tam giác cân ( 1 )
Mặt khác : = 900 và = 300
 = 600 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
 AK = 
Mà KC = AC => KC = AK = 
KCM đều => KC = KM = 
Theo phần b) AB = BC = 4
 AH = BK = 2
 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
AM = AH + HM = 6 
0,5đ
0,5
0,5
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 5
(2 đ)
 S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c).
V× 0 < a+b+c27 nªn a+b+c 37. MÆt kh¸c( 3; 37) =1 
nªn 3(a+b+c) 37 => S kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph­¬ng.
1đ
0,5đ
0,5đ
Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
 - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
 - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. 
 - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,5đ ( ví dụ : 13,5đ , 14,5đ, 16,5đ).