Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 đề thi môn: Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2.0 điểm). 
a) Cho hàm số có đồ thị là . Gọi là giao điểm của hai đường tiệm cận của và là một điểm bất kì trên . Tiếp tuyến với tại cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang củalần lượt tại và . Chứng minh rằng tam giác có diện tích không đổi.
b) Cho hàm số có đồ thị là . Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu 2 (2.0 điểm). 
a) Cho Tính theo và 
b) Cho hàm số Tính tổng: 
Câu 3 (2.0 điểm).
a) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí cách bờ biển một khoảng Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí đến vị trí trên bờ biển với vận tốc rồi đi xe đạp từ M đến với vận tốc (hình vẽ bên). Xác định vị trí của để người đó đến nhanh nhất.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm dương phân biệt 
Câu 4 (2.0 điểm). Cho tứ diện có 
 Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác 
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính thể tích khối tứ diện 
Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại Biết và vuông góc với mặt phẳng . Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp .
Câu 6 (1.0 điểm). Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
------------------- Hết -------------------
Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.; Số báo danh: