Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 năm học 2015 – 2016 Toán nâng cao - Trường THPT Lý Tự Trọng

Trường THPT Lý Tự Trọng	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
 Tổ Toán	Năm học 2015 – 2016 
	Toán Nâng cao 
	Ngày thi 04/08/2015
	 Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ)
	Cho biểu thức P = 
a) Rút gọn biểu thức P
	b) Tìm tất cả các số thực x để P là số nguyên
Câu 2: (2đ)
a) Tìm m để phương trình x2 + 2(2m – 1)x + 4m2 – 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 sao cho (x1 – x2)2 + x1x2 – 2 = 0.
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3: (2đ)
Cho hàm số y = -x2 có đồ thị là Parabol (P), điểm M(-3; -2) và đường thẳng (d): y = (-m2 + 4)x + 3 – 3m2 (m là tham số thực).
	a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 4: (4đ)
Cho điểm A cố định ở ngoài đường tròn (O; R). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) và cát tuyến ADE với (O) (D, E thuộc đường tròn (O) và D thuộc cung nhỏ BC). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
	a) Khi DH // AC. Hãy chứng minh:
	i) DABD và DAEB đồng dạng ; DACD và DAEC đồng dạng
	ii) BD . CE = BE . CD
	iii) Tứ giác DBEC là hình thang cân
b) Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của E lên các tiếp tuyến AB và AC. 
 Xác định vị trí điểm E để BP.CQ + EP . EQ đạt giá trị lớn nhất.