Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10, 11 THPT năm học 2015 - 2016 đề thi môn: Toán 11

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình 
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tổng 
Câu 4 (1,0 điểm). Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh , mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách). Tính xác suất để hai học sinh và nhận được phần thưởng giống nhau.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số được xác định bởi: 
a) Chứng minh rằng dãy tăng và 
b) Với mỗi số nguyên dương , đặt Tính 
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và vuông góc với mặt phẳng . Biết và 
a) Đường thẳng qua vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Hãy xác định các giao điểm của với và chứng minh rằng 
b) Tính diện tích tứ giác 
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại , là trung điểm của . Đường thẳng và là trọng tâm tam giác . Đường thẳng đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết điểm có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng 
Câu 8 (1,0 điểm). Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
------Hết------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án có 04 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(2,0 điểm)
ĐKXĐ: . Phương trình đã cho tương đương
0,5
0,25
 hoặc 
0,5
0,25
0,25
Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là 
0,25
2
(1,0 điểm) 
Phương trình đã cho tương đương
0,25
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay: (*).
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm và , trong đó là nghiệm của (1). 
Theo định lý Viet ta có (2). 
0,25
Xét các trường hợp sau:
*) Nếu (3). Từ (2) và (3) ta có hệ: 
0,25
*) Nếu (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: 
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:.
0,25
3
(1,0 điểm)
Ta có 
0,25
Suy ra 
0,25
Cho ta được 
0,25
Vậy 
0,25
4
(1,0 điểm)
Gọi lần lượt là số học sinh được nhận các bộ giải thưởng (Toán-Lý); (Toán-Hóa) và (Lý-Hóa). Ta có hệ: .
0,25
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: 
0,25
Gọi T là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”.
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Lý), có: cách phát.
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Hóa) có: cách phát.
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Lý- Hóa) có: cách phát.
0,25
Vậy xác suất cầm tìm là 
0,25
5
a (0,5 điểm) 
Ta có Do đó tăng.
0,25
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng (1). Thật vậy, (1) đúng với .Giả sử (1) đúng với thì 
Vậy (1) đúng với mọi n. Từ tăng ngặt và suy ra 
0,25
b (0,5 điểm)
Ta có . Suy ra 
Từ đó 
0,25
Do đó 
Từ . Vậy 
0,25
6
a(1,0 điểm). 
Trong gọi 
Trong gọi 
0,5
Ta có , mà . Suy ra 
0,25
Suy ra . Mà . Vậy 
0,25
b(1,0 điểm). 
Ta có ; ; 
0,25
Do , do đó .
0,25
Tương tự phần (a) thì . Từ đó tính được
0,25
Suy ra 
0,25
7
(1,0 điểm).
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trước hết ta chứng minh Thật vậy, gọi lần lượt là trung điểm . Suy ra là trọng tâm tam giác Mặt khác là trọng tâm tam giác nên . Suy ra . Mà nên .
Rõ ràng nên là trực tâm tam giác . Suy ra .
0,25
Đường thẳng qua và vuông góc với nên có phương trình: 
Tọa độ thỏa mãn hệ 
Gọi Ta có 
0,25
Suy ra , . Từ đó suy ra Gọi . 
Do là trọng tâm ACM nên . Mà suy ra 
0,25
Từ đó Thử lại ta thấy . Suy ra không tồn tại 
0,25
8
(1,0 điểm).
Đặt thì và 
Xét hai trường hợp:
* Nếu cả 3 số đều âm. Áp dụng BĐT Côsi ta được
Suy ra 
0,25
* Nếu trong 3 số có một số âm, hai số dương. Không mất tổng quát, giả sử Đặt Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được
.
Do đó 
0,25
0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và hay
 và Vậy , chẳng hạn khi 
0,25
-------Hết-------