Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 29/ 10 / 2014
Bài 1. a) Rút gọn các biểu thức sau: .
	b) So sánh và 
Bài 2. a) Tìm hai số x, y thỏa mãn 
b) Tìm ba số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
Bài 3. a) Giải phương trình: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:
Bài 4. Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB tại D và cắt AC tại E (DA). P là điểm bất kỳ trên cạnh BC
a) Chứng minh 
b) Chứng minh rằng diện tích không lớn hơn diện tích .
c) Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5. Cho x, y thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức 
-----------HẾT------------
Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh:...........
Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính.
 ĐÁP ÁN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
Môn : TOÁN - LỚP 9
Bài
Nội dung
Bài 1
a) 
.
b) 
Ta có 
Vậy > 
Bài 2
Ta có 
b)
Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). 
Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) Û bc = 5+b+c.
 	 Û bc -b - c + 1 = 6 Û (b-1)(c-1) = 6.
b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:
	 và 
Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7
Bài 3
6,0đ
a) 
Ta có: 
Kiểm tra ta thấy x = 2014 và x = 2015 là các nghiệm của phương trình.
+ Nếu x > 2015 thì x – 2014 > 1 nên Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn x > 2015 
+ Nếu x < 2014 thì x – 2015 < -1 nên Chứng tỏ pt không có nghiệm thỏa mãn x < 2014 
+ Nếu 2014 < x < 2015 thì: nên 
 Chứng tỏ 2014 < x < 2015 không thỏa mãn p trình. 
Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 2014 và x = 2015 
b) 
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: 
Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10
Đặt N=
N2 = 8 + 2 ≥ 8 (vì 2≥0)
Nên N2 ≥ đẳng thức xẩy ra x = 2 hoặc x = 10.
Do đó: M ≥ 3N + ≥ 3N ≥ đẳng thức xẩy rax = 10.
Vậy GTNN của M = 
Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có: M ≤
Đẳng thức xẩy rax =
Vậy GTLN của M = 
Bài 4
a) 
Ta có AH = AB. sinB với 
 (1)
Tương tự (2)
Từ (1) và (2) suy ta 
(Có thể sử dụng hai tam giác vuông đồng dạng)
b) 
 AH cắt DE tại K
Đặt AH = h, AK = k 
Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức cosy cho hai số không âm k và h – k ta có
=> 
Dấu “=” xảy ra khi 
c) 
 lớn nhất khi tức DE là đường trung bình lúc này 
Bài 5
Nhận xét 
Kết hợp với giả thiết ta say ra: 
Cộng từng vế của hai đẳng thức ta suy ra: x + y = - x- y hay x = - y
Vật 
Tổng
 	PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ