Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán - Trường THCS Phước Thạnh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐẤT ĐỎ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG.
 NĂM HỌC 2014 – 2015
TRƯỜNG THCS PHƯỚC THẠNH 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 15O phút
Bài 1: (4 điểm). 
1. Chứng minh rằng 
2. 
a) Chứng minh rằng với mọi n > 0, ta có:
b) Suy ra giá trị của tổng:
Bài 2: (4 điểm). 
1. Giải phương trình: 
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 3: (4 điểm). 
1. Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1, tìm giá trị nhỏ nhất của: 
2. Cho biểu thức: 
Với Chứng minh rằng: 
Bài 4: (5 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm M chuyển động trên đường tròn ( M khác A, B). Đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn tâm M.
Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
Chứng minh tổng AC + BD không đổi rồi tính giá trị lớn nhất của AC . BD.
Lấy điểm N cố định trên đường tròn (O) . Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I lên MB. Chứng minh rắng : P di chuyển trên một đường tròn cố định.
Bài 5: (3 điểm). Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) . Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn (O) ( B, C thuộc (O)) . Chứng minh rằng : 
---------------------------HẾT-------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐẤT ĐỎ
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG. NĂM HỌC 2014 – 2015
TRƯỜNG THCS PHƯỚC THẠNH 
MÔN THI: TOÁN 
Bài 
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4 điểm)
1. Ta có:
Vậy 
2.
1
1
1
1
Bài 2
(4 điểm)
1. (1)
ĐK: 
Vậy phương trình có nghiệm là 
2. 
ĐK: x > 0, y > 0
Áp dụng BĐT côsi cho 2 số dương:
Theo hệ ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra . Khi đó hệ trở thành:
Và 
Vậy hệ có nghiệm 
1
1
1
1
Bài 3
(4 điểm
1.
Vì x, y > 0 và x + y = 1 nên áp dụng BĐT cô si:
xy lớn nhất khi 
Dấu "=" xảy ra khi 
Vậy GTNN của A là 9 khi 
2. Do 
Áp dụng BĐT cô si:
Vậy 
1
1
0,5
1
0,5