Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán lớp 12

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị 
1) Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Câu 2. (2,0 điểm) Tính tích phân 
Câu 3. (4,5 điểm) 
1) Giải phương trình 
2) Tìm tất cả giá trị của tham số để hệ phương trình sau có nghiệm:
Câu 4. (4,0 điểm) 
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho parabol có phương trình và elip có phương trình . Chứng minh rằng cắt tại bốn điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đi qua bốn điểm đó.
2) Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm và mặt phẳng có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng đi qua vuông góc với mặt phẳng cắt đường thẳng tại sao cho
Câu 5. (3,5 điểm) 
1) Cho hình trụ có bán kính đáy , đường cao bằng Gọi là tâm của hai đáy, là đường kính cố định của đường tròn tâm là đường kính thay đổi của đường tròn tâm Gọi là góc giữa và 
a) Tính thể tích khối trụ tương ứng.
b) Xác định để thể tích khối tứ diện lớn nhất.
2) Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành tâm Gọi lần lượt là các khoảng cách từ đến các mặt phẳng Chứng minh rằng nếu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thì 
Câu 6. (1,5 điểm) 
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
-----------------Hết-----------------
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán – Lớp 12
Câu
Lời giải sơ lược
Điểm
1.1 (2,5 điểm)
Ta có 
 nên hàm số có 3 cực trị khi 
1,0
Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
Ta có 
0,5
Ta giác đều khi và chỉ khi
So sánh với điều kiện suy ra 
1,0
1.2 (2,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của và trục hoành 
Đặt ta được 
0,5
 có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt
1,5
2. (2,0 điểm)
1,0
Vậy 
1,0
3.1 (2 điểm)
ĐK: .
0,5
Với ĐK trên PT đã cho tương đương với
0,5
Từ đó suy ra tập nghiệm PT là 
1,0
3.2 (2,5 điểm)
Điều kiện: 
Xét hàm số 
Do đó, hàm số đồng biến trên 
 Thay vào ta được
1,0
Xét hàm số 
1,0
Ta lại có liên tục trên nên đồng biến trên 
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm 
0,5
4.1 (2,0 điểm)
Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình
 (*) 
0,5
Hàm số liên tục trên 
Ta có 
Do các khoảng đôi một rời nhau và có nhiều nhất bốn nghiệm nên (*) có bốn nghiệm phân biệt, do đó cắt tại 4 điểm phân biệt.
0,5
Gọi là tọa độ giao điểm của và Khi đó, thỏa mãn hệ
 (**)
(**) là phương trình của đường tròn có tâm bán kính 
Do đó bốn giao điểm của và cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**)
1,0
4.2 (2,0 điểm)
Gọi là vtpt của mặt phẳng .
Vì thẳng hàng và nên hoặc 
0,5
Nếu ta xác định được 
Ta có 
Chọn nên PT 
0,5
Nếu ta xác định được 
Ta có 
Chọn nên PT 
Vậy PT mp là hoặc 
1,0
5.1 (2,0 điểm)
a) 
0,5
b) Gọi làn lượt là hình chiếu của trên đáy tâm Ta có 
Gọi là hình chiếu của trên ta có 
0,5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy lớn nhất bằng khi 
1,0
5.2 (2,0 điểm)
Lấy mặt phẳng vuông góc với cắt theo các giao tuyến Do nên 
Chọn hệ tọa độ sao cho tia trùng với tia Ta có 
Điểm lần lượt đối xứng với qua nên 
1,0
Ta có 
Phương trình mặt phẳng có dạng 
0,5
Tương tự 
Hoàn toàn tương tự Đpcm
0,5
6. (1,5 điểm)
Ta có 
, dấu bằng xảy ra khi 
0,5
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
Ta chỉ cần chứng minh hay 
Thật vậy, xét hàm số
Ta có 
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Từ đó suy ra, 
Vì vậy, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
0,5
Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm