Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 môn: Toán lớp 9

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 SÓC TRĂNG	Năm học 2014-2015
 Đề chính thức
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
________________
HƯỚNG DẪN CHẤM
----------------------
Bài
 Nội dung 
Điểm
Bài 1
 Cho 
a ) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện: x > 1
b) Tính giá trị của biểu thức A khi .
- Với x = 5, A = 1;
- Với x = 4035, A 3907,97 .
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2a
vì (với mọi n)
Vậy 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Bài 2b
Giả sử n + 12 = a2 và n – 11 = b2 (a, bN, a > b)
Suy ra: a2 – b2 = n + 12 – n + 11 = 23
 (a + b) (a - b) = 23.1
Giải hệ phương trình: 
Giải ra: a = 12, b = 11 => n = 132.
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3a 
Ta có:
 (1)
Nhận xét: không phải là nghiệm của (1). 
Chia cả hai vế của (1) cho ta có:
 (2)
Với nguyên, suy ra nguyên nên 
Thay và vào (2) và ta có y là số nguyên khi y = 1.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên là (2;1) và (0;1).
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Bài 3b
F = 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy F có giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi 
1,0
0,5
0,5
Bài 4
 Hình vẽ 
a) Chứng minh: (c.g.c).
 BA = BC ( do tam giác ABC đều)
 MB = PB ( do tam giác MBP đều)
 ( do tổng số đo với với cùng bằng 600 )
b) Ta có: BM // PC ( do vị trí so le trong)
Suy ra hai tam giác QMB và tam giác QPC đồng dạng
nên 
hay 
c) Nối OI, ta có OI vuông góc với AM (định lý). 
Từ I luôn nhìn AO dưới góc vuông nên I thuộc đường tròn đường kính AO. 
Do P chỉ chạy trên cung nhỏ BC nên I di chuyển cung EF bằng đường tròn đường kính AO bị giới hạn bởi AB, AC.
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 5a
5b
 Hình vẽ 
Đường kính AB của (O) vuông góc với dây CD tại I => I là trung điểm của CD.
Tứ giác ACMD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.
0,25
0,25
0,5
Ta có:
Þ MD ^ BC (1)
 (MB là đường kính của (O’)) Þ MJ ^ BC (2)
Từ (1) và (2): ba điểm D, M, J thẳng hàng.
0,5
0,5
5c
Ta có: D JCD (=900), IJ là trung tuyến ứng với cạnh huyền CD
 Þ IJ=ID=IC=CD Þ D IJD cân tại I.
Mặt khác: (so le trong)
 (đồng vị)
 (O’M, O’J là bán kính của (O’))
Do đó: =900
Như vậy: đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’), J là tiếp điểm.
0,25
0,25
0,25
0,25
5d
Ta có: 
Þ IO’ (R là bán kính của (O))
DJIO’ (): IJ2+O’J2=IO’2=R2 (theo định lí Pitago)
Nhưng: IJ2+O’J2 ≥2IJ.O’J=4SJIO,
Do đó S(JIO,) ≤
Dấu đẳng thức xảy ra khi IJ=O’J và DJIO’ vuông cân có cạnh huyền bằng R nên: 2O’J2=O’I2=R2 ÞO’J=Þ O’M=
Khi đó: MB=R ( đvđd)
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú:Thí sinh có thể giải theo cách khác. Nếu đúng vẫn cho trọn số điểm theo qui định của từng bài.
	--- HẾT ---