Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Sở GD & ĐT Nghệ An

Sở Gd&Đt Nghệ an
Đề thi chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs
 năm học 2008 - 2009
Môn thi: Toán - Bảng B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (4,5 điểm). 
	a) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với k ẻ Z. Tỡm điều kiện của k để A chia hết cho 16.
	b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của phõn số mà tử số là một số cú ba chữ số, cũn mẫu số là tổng cỏc chữ số của tử số.
Cõu 2 (5,5 điểm). 
 	a) Giải phương trỡnh: 
	b) Giải hệ phương trình: 
Cõu 3 (3,0 điểm).
 Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Cõu 4 (5,5 điểm). 
	 Cho đường trũn (O; R), hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. E là một điểm trờn cung nhỏ AD (E khụng trựng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.
	a) Chứng minh rằng: AM.ED = OM.EA
	b) Xỏc định vị trớ điểm E để tổng đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 5 (1,5 điểm). 
	 Cho tam giỏc ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài cỏc đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 khụng lớn hơn 1.
	 Chứng minh rằng: (SABC là diện tớch tam giỏc ABC).
- - - - - Hết - - - - -
Họ và tên thí sinh:........................................................... Số báo danh: .......................................
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS 
Năm học 2008 - 2009
hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán - bảng B
----------------------------------------------
Câu
Nội dung
Điểm
1
4,5
a/
2,5
Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ẻ Z
	Vì k ẻ Z ị ta xét các trường hợp:
TH1: k chẵn ị A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ
	ị A không chia hết cho 2
	ị A không chia hết cho 16 (loại) (1)
1,0
TH2: k lẻ, ta có:
	A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15)
	 = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)
Do k lẻ ị k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn
	ị A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2)
Từ (1) và (2) ị với " k ẻ Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16
1,0
0,5
b/
Gọi tử số của phân số là (0 < a Ê 9, 0 Ê b Ê 9, 0 Ê c Ê 9, a, b, c ẻ N)
nên phân số đó có dạng P = 
	suy ra Pmax = 100 khi b = c = 0, 0 < a Ê 9, aẻ N
 2,0
2
5,5
a/
3,0
Giải phương trình x2 - x - .	ĐKXĐ: 
	Khi đó phương trình Û x2 - x = 
	Đặt: ( )
	Û 1 + 16x = 4y2 -4y + 1	Û 4y2 - 4y = 16x Û y2 - y = 4x (*)
	Ta có: 
	Với x = y thay vào (*) ị x2 - x = 4x
	Û x2 - 5x = 0 Û x(x - 5) = 0
	Û
	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 5
0,25
2,25
0,5
b/
2,5
Ta có : 
	ị (x + y)2 + (x + y) – 12 = 0 Û
Nếu x + y = 3
Nếu x + y = -4
	ị Hệ đã cho (hệ vô nghiệm)
	Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0)
1,0
1,0
0,5
3
3,0
 áp dụng bất đẳng thức: (với A, B, C > 0)
	ị với x, y, z > 0 ta có: 
	ị
	ị
	 = 
(Do 3(xy + yz + zx) Ê (x + y + z)2 và x + y + z = 1)
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi và 
	Vậy Pmin = 30
1,0
1,0
1,0
4
1
1
5,5
a/
3,0
Xét DCOM và DCED có:
S
	ị DCOM DCED (g-g)
	ị (1)
Do AB, CD là 2 đường kính vuông
góc với nhau ị 
Xét DAMC và DEAC có:	 
S
	ị DAMC DEAC (g-g) ị 
mà (do DACO vuông cân tại O)
	ị (do (1))
	ị AM.ED = OM.AE (ĐPCM)
1,0
1,0
1,0
b/
2,5
Tương tự câu a ta có:
S
	DBON DBEA ị 
S
	DBND DBDE ị 	
	ị 
Từ câu a ta có: AM.ED = .OM.AE ị 
	 	 ị 
	mà 
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi:
	Û E là điểm chính giữa cung nhỏ AD
Vậy giá trị nhỏ nhất của 
	Û E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD
1,0
0,5
1,0
5
A1
B1
C1
1,5