Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2013 - 2014 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 25/10/2013
Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình .
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số (1), m là tham số thực. 
a) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, trong đó .
Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực
a) Giải hệ khi .
b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của và là trung điểm của Biết , ; góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích khối chóp và tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình thang ABCD vuông tại A và D; . Đường thẳng BD có phương trình , đường thẳng AC đi qua điểm . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực thỏa mãn và . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	. Hết.	
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh 	Số báo danh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN THPT
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 05 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm
Phương trình tương đương: .
0,5
.
0,5
.
0,5
Vậy phương trình có nghiệm là hoặc .
0,5
Câu 2. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm
a) (1,0 điểm). 
Phương trình hoành độ giao điểm: .
0,25
0,25
Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
0,25
. Vậy các giá trị cần tìm của m là hoặc .
0,25
b) (1,0 điểm).
Ta có ; hoặc .
Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi (*)
0,25
Các điểm cực trị của đồ thị là .
0,25
Suy ra ; .
Do đó ; .
0,25
Đặt ta được 
Do đó (thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy .
0,25
Câu 3. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm
a) (1,0 điểm).
Với m=2 ta có hệ 
0,25
Đặt , ta có hệ: .
0,25
Giải hệ ta được . Suy ra . 
0,25
Giải hệ ta được . Vậy hệ có hai nghiệm .
Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp thế.
0,25
b) (1,0 điểm). 
Hệ tương đương 
Đặt , ta có hệ: 
0,25
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn .
0,25
Xét hàm số . Ta có .
Với thì .
0,25
Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị cần tìm của m là: .
0,25
Câu 4. (2,0 điểm) 
Nội dung
Điểm
.
0,5
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. 
Ta có . 
0,25
Góc giữa (SHC) và (ABC) là 
0,5
Vậy .
0,25
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là 
Gọi I là hình chiếu của A trên SK .
Ta có .
Trong tam giác vuông SAK, ta có 
0,25
Do đó .
Vậy 
0,25
Câu 5 (1,0 điểm) 
Nội dung
Điểm
Gọi , H là hình chiếu của B trên CD. 
Ta có .
0,25
Đường thẳng AC có dạng: .
Góc giữa AC và BD bằng nên 
Chọn b=1 ta được .
Từ đó suy ra phương trình AC là hoặc .
0,25
Gọi , ta có .
Ta có . Từ đó tìm được .
0,25
* Nếu , suy ra . Gọi thì từ ta có
. Suy ra 
Do .
* Nếu , suy ra . Gọi thì từ ta có
 (không thỏa mãn ).
Vậy điểm A cần tìm là .
Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh thì cho 0,25 điểm.
0,25
Câu 6. (1,0 điểm) 
Nội dung
Điểm
Ta có 
Suy ra .
0,25
0,25
Xét hàm . Ta có .
Ta có 
Suy ra .
0,25
Suy ra nghịch biến trên đoạn . Do đó . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi .
0,25
. Hết.