Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm 2011 (vòng 1) môn Toán (Bảng A)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 LONG AN 	 LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) 	
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )
 	Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
 	Ngày thi: 06/10/2011
Câu 1: ( 5,0 điểm )
Giải phương trình sau: với .
Giải phương trình: .
Câu 2: ( 5,0 điểm )
Cho tam giác vuông cân tại , cạnh . Trong mặt phẳng chứa tam giác lấy điểm thỏa . Tìm quỹ tích của điểm M.
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng , . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC.
Câu 3: ( 4,0 điểm )
	Cho dãy số xác định bởi và với mọi .
Xác định số hạng tổng quát của dãy số .
Tính tổng .
Câu 4: ( 3,0 điểm )
	Cho là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện .
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 5: ( 3,0 điểm )
Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm: với là các số thực.
. Hết .
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:;Số báo danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 HƯỚNG DẪN CHẤM
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
 LONG AN 	 LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) 
 Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )
 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
Câu
Đáp án
Thang điểm
1
(5,0 điểm)
a. ( 3,0 điểm )
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:
0,5
(*)
0,5
(*) 
0,5
Ÿ Với thì có một nghiệm là 
Ÿ Với thì có một nghiệm là 
0,5
Ÿ Khi thì 
 hoặc .
0,5
ŸKhi thì
 hoặc .
0,5
b. ( 2,0 điểm )
Phương trình đã cho được viết lại:
0,5
0,5
 hoặc 
0,5
Ÿ , 
Ÿ phương trình vô nghiệm.
0,5
2
(5,0 điểm)
a. (2,0 điểm )
Ÿ Chọn hệ trục tọa độ vuông góc sao cho tia qua A và tia qua C. Ta có: , , . Giả sử .
0,5
Ÿ 
.
0,5
Ÿ Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm , bán kính .
0,5
Ÿ Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm , bán kính .
0,5
b. ( 3,0 điểm )
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ÿ Xét trường hợp: 
Ta có: 
Vậy AC2 = 112 
0,5
 Vậy AB2 = 52
0,5
Vậy độ dài trung tuyến còn lại :
0,5
Ÿ Xét trường hợp: 
Ta có : 
Vậy AC2 = 208 
0,5
Vậy AB2 = 148
0,5
Vậy độ dài trung tuyến còn lại :
0,5
Câu
Đáp án
Thang điểm
3
(4,0 điểm)
a. 2,0 điểm
Dễ thấy 
Từ .
0,5
Đặt thì có: . 
0,5
Đặt thì ta có:
. Từ đây suy ra là cấp số nhân với , công bội 
là 3.
0,5
Nên: .
0,5
b. 2,0 điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
4
(3,0 điểm)
 Chứng minh được: 
0,5
 Suy ra: và 
0,5
0,5 + 0,5
 Vậy GTLN của M là 
0,5
 Giá trị này đạt được khi .
0,5
5
(3,0 điểm)
 Viết lại hệ: 
0,5
Đặt . Dễ có: .
Hệ trở thành: 
0,5
Suy ra: 
0,5
 Xét hàm với . 
0,5
Bảng biến thiên:
 +
0,5
Kết luận : .
0,5