Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Ninh năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán – lớp 12 – dành cho học sinh chuyên

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – Dành cho học sinh Chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi tháng năm 2015
================
Câu 1. (4,0 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
Câu 2. (4,0 điểm) 
Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 
Câu 3. (4,0 điểm) 
	Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác . Hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng là . Trung điểm cạnh là . Điểm đối xứng với qua là . Đường thẳng cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác .
Câu 4. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số sao cho với mọi ta có
Câu 5. (3,0 điểm) 
Với mọi số nguyên dương , xét phương trình nghiệm nguyên dương sau (các ẩn đôi một khác nhau): . 
Chứng mình rằng với thì phương trình (*) luôn có nghiệm.
Chứng minh rằng: tồn tại 2015 số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho mọi số đều là ước của tổng của tất cả 2015 số đó.
Câu 6. (2,0 điểm) 
Xét tập ( với n là số nguyên dương). Giả sử trong tập có 4n số được tô màu đỏ, 2n số còn lại tô màu xanh. Chứng minh rằng: tồn tại 3n số nguyên dương liên tiếp trong tập mà trong 3n số đó có đúng 2n số được tô màu đỏ.
------------------------Hết------------------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
==============
Lời giải sơ lược
Thang điểm
Câu 1
4.0
Đ/k: 
Nếu thì từ (1) suy ra thay vào (2) không thỏa mãn . Khi đó:
Xét hàm số trên khoảng . Ta có: nghịch biến trên khoảng 
Do đó . Thế vào (2) ta được: 
Giải hai phương trình này được: 
 +) Với (thỏa mãn (*))
 +) Với (thỏa mãn (*))
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: , .
Câu 2
4.0
Ta có:
. Do đó xảy ra dấu đẳng thức, tức là và . Suy ra và . 
Đặt . Ta có . Mặt khác 
Khi đó 
 Hàm số liên tục trên 
đồng biến trên 
. 
Khi thì và khi thì 
Vậy 
Câu 3
4.0
Ta có BHCK là hình chữ nhật và tứ giác ABLC là tứ giác nội tiếp nên ta có
ML.MA=MB.MC=MK.MH.
Mặt khác từ giả thiết suy ra M (1; 0) và MK=MH=, ML=1.
Suy ra ML.MA=5 do đó MA=5. Suy ra nên ta có A(1; 5).
B là giao điểm của đường thẳng qua K song song AH và đường thẳng qua H vuông góc với AH nên ta tìm được B(0; -2). Suy ra C(2; 2).
Câu 4
3.0
Cho x=0 ta có . Từ đây suy ra f(x) là toàn ánh trên R.
Do đó tồn tại c sao cho f(c)=0. Cho x=c trong phương trình đầu ta suy ra
f(f(y)=y với mọi số thực y. Lấy y=0 ta suy ra f(f(0))=0=f(c) nên c=0.
Thay x bới f(x) trong PT đầu ta có 
Do f đơn ánh nên , do đó . Suy ra với mọi số thực x thì ta có f(x)=x hoặc f(x)=-x. 
Giả sử tồn tại hai số thực a, b khác nhau sao cho và.
Trong PT giả thiết lấy x=a, y=b ta suy ra .
Điều này không thể xảy ra vì a và b đều khác 0. Do đó ta có hoặc .
Thử lại ta thấy cả hai đều là nghiệm của bài toán.
Câu 5
3.0
n=3 thì 1/2+1/3+1/6=1.
Giả sử (*) có nghiệm với n=k, ta chứng minh nó có nghiệm với n=k+1.
Điều này đúng vì ta có đẳng thức . Như vậy ta sắp xếp theo thứ tự tăng dần và chỉ cần thay số lớn nhất bằng 2 số từ đẳng thức trên.
Chỉ cần chọn , với k=1,2,,2015.
Với là nghiệm của (*) trong trường hợp n=2015.
Câu 6
2.0
Xét các tập (i=1,2,,3n+1). 
Phản chứng: không có tập nào trong các tập trên có đúng 2n số được tô màu đỏ.
Gọi là số các số được tô màu đỏ trong tập . 
Khi đó nếu <2n thì <2n vì và chỉ khác nhau 1 phần từ và khác 2n.
Tương tự ta cũng suy ra , , cũng nhỏ hơn 2n.
Như vậy đều nhỏ hơn 2n, tức số các số được tô đỏ trong các tập đều lớn hơn n. Mặt khác 2 tập này đều là các số phân biệt, suy ra số các số tô đỏ trong tập T nhỏ hơn 4n. Vô lý.
Tương tự, nếu thì ta cũng suy ra số các số được tô đỏ trong T lơn hơn 4n. Mâu thuẫn.
Do đó, giả sử phản chứng là sai. Hay ta có ĐPCM.
Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm.