Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Ninh năm học: 2011-2012 môn thi: Toán – lớp 12 chuyên

UBND TỈNH BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 CHUYÊN
Thời gian làm bài: 180 phút( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 20 tháng 3 năm 2012
Câu 1 (4 điểm).
Giải phương trình sau:
 .
Câu 2 (4 điểm).
Cho dãy số thực thoả mãn: .
Chứng minh rằng dãy số hội tụ và tính giới hạn của dãy số đó.
Câu 3 (3 điểm).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đồng thời thoả mãn: .
Chứng minh rằng tồn tại số thực a sao cho: .
Câu 4 (6 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 
(S): và hai điểm 
a) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho góc vuông.
b) Tìm toạ độ điểm N thuộc (S) sao cho góc lớn nhất.
Câu 5 (3 điểm).
Cho tập hợp . Tìm số tập con của A có tính chất: ở mỗi tập con ấy, có ít nhất hai số a, b thoả mãn a = 17b.
---------------HẾT---------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 CHUYÊN
Ngày thi 20 tháng 3 năm 2012
==============
Câu 1 (4 điểm).
Giải phương trình sau:
 .
Giải:
Đặt , ta có hệ: .
Giả sử .
Vì x, y, z > 0 nên dẫn đến x = y = z.
Suy ra: .
Dễ thấy hai giá trị này thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = 2.
Câu 2 (4 điểm).
Cho dãy số thoả mãn: .
Chứng minh rằng dãy số hội tụ và tính giới hạn của dãy số đó.
Giải:
- Nhận xét: 
- Dùng phương pháp quy nạp, chứng minh: 
Suy ra tồn tại 
-Từ giả thiết suy ra a là nghiệm của pt: x = sinx.
Dùng đạo hàm, chỉ ra nghiệm duy nhất của pt là x = 0.
Kết luận .
Câu 3 (3 điểm).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đồng thời thoả mãn: .
Chứng minh rằng tồn tại số thực a sao cho: .
Giải:
Xét hàm số:
Từ giả thiết suy ra g(x) có đạo hàm và .
Dẫn đến 
Mà 
Suy ra 
Đặt ta có đpcm.
Câu 4 (6 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 
(S): và hai điểm 
a) Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho góc vuông.
b) Tìm toạ độ điểm N thuộc (S) sao cho góc lớn nhất.
Giải:
a)Giả sử là điểm thỏa mãn vuông. Ta có:
b) Gọi là trung điểm AB, là tâm (S), M(1;3).
Ta thấy:, vuông, suy ra đường tròn (C) đường kính AB tiếp xúc ngoài với (S)
 Do đó với N thuộc (S) thì N không nằm trong (C), dẫn đến ; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng N.
Vậy N(1;3) thì góc lớn nhất.
Câu 5(3 điểm).
Cho tập hợp . Tìm số tập con của A có tính chất: ở mỗi tập con ấy, có ít nhất hai số a, b thoả mãn a = 17b.
Giải:
- Để a = 17b thì (a;b) chỉ có thể là một trong số các cặp:
 (1;17), (2;34), (3;51).
- Ký hiệu: là tập các tập con của A có chứa cặp (k;17k) .
Dễ thấy 
Từ đó kết quả là: