Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang năm học: 2011-2012 đề thi môn: Toán lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC: 2011-2012 
ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP 12 
Ngày thi: 01/4/2012 
Thời gian làm bài: 180 phút 
(khơng kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số 3 21 ( 1) (4 3) 3
3
y x m x m x m= + + + + + − (1) ( m là tham số). 
 1. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên [ ]1;2− . 
 2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại các điểm 1 2,x x
sao cho 1 22 1 .x x m+ = − 
Câu 2: (4,0 điểm) 
 1. Giải phương trình: 
2
2
1 tan1 4sin .cos .
6 1 tan
x
x x
x
pi + 
+ + = 
− 
 2. Tìm tham số m để phương trình sau cĩ nghiệm thực: 
23 1 3 2 2 1.x x x x m+ + − − − − = − 
Câu 3: (4,0 điểm) 
 1. Giải hệ phương trình: ( )
2
32 1 .2 2.
1
log ( 1) 1
y xx
x
y x

−
+ − =
 +
 + + =
 ( , ).x y ∈ℝ 
 2. Tính tích phân: 
1
ln( )
.
7 2 ln
e
exI dx
x x
=
−
∫ 
Câu 4: (6,0 điểm) 
 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cĩ đỉnh (1; 2).C −
Tìm toạ độ của 
các đỉnh A và ,B
biết đường cao đi qua đỉnh ,B đường phân giác trong đi qua đỉnh A của 
tam giác ABC
lần lượt
cĩ phương trình là 2 0x y− − = và 2 4 0x y+ + = . 
 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD cĩ toạ độ các đỉnh lần 
lượt là ( 1;2;0),A − (2;1;1),B (0; 3;4),C − (3;0;3)D
và cho mặt phẳng ( )α : 2 5 0x y z− − − = . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC MD+ + +
   
, biết M là một điểm thay đổi trong mặt 
phẳng ( )α . 
 3. Cho tứ diện ABCD cĩ một cạnh lớn hơn a và cĩ các cạnh cịn lại đều khơng lớn 
hơn a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: 
3
.
8
aV ≤ 
Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương ,a b
và c . Chứng minh rằng: 
2 .a b b c c a a b c
c a b b c c a a b
 + + +
+ + ≥ + +  + + + 
..................................................... HẾT ................................................... 
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh: ....................................................................................... Số báo danh: .......................... 
Giám thị 1 (Họ tên và chữ ký) ....................................................................................................................... 
Giám thị 2 (Họ tên và chữ ký) ....................................................................................................................... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Trang 1/5 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2011-2012 
NGÀY THI 01/4/2012 
MƠN THI: TỐN LỚP 12 
Bản hướng dẫn chấm cĩ 05 trang 
Câu 1 Hướng dẫn giải (5 điểm) 
TXĐ: D = ℝ 
2
' 2( 1) 4 3y x m x m= + + + + 
Để y đồng biến trên [ ]1;2− thì [ ]' 0, 1;2y x≥ ∀ ∈ − 
0.5 
Với [ ]1;2x∀ ∈ − ta cĩ 2 0x + > , nên ta cĩ thể đưa được điều kiện trên về 
dạng [ ]32 , 1;2
2
m x x
x
≥ − − ∀ ∈ −
+
0.5 
[ ]1;2
32 max ( ), ( )
2x
m g x g x x
x∈ −
⇔ ≥ = − −
+
 0.5 
Tìm được [ ]1;2max ( ) 2 2 3 khi 2 3x g x x∈ − = − = − + 0.5 
1. 
(2.5điểm) 
Khẳng định được 1 3m ≥ − 
KL 0.5 
2
' 2( 1) 4 3y x m x m= + + + + 
Để y cĩ cực trị thì y’ phải cĩ hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi 
qua hai nghiệm đĩ. 
Suy ra ' 0∆ > 
0.5 
Tìm được điều kiện để hàm số cĩ cực trị là 
( ;1 3) (1 3; )m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ 0.5 
Với ( ;1 3) (1 3; )m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ , áp dụng định lý Vi-ét và kết hợp với 
1 22 1 .x x m+ = − Tìm được 1 23 5, 3.x m x m= − − = + 
0.5 
Tìm được 3 3m = − ± . 0.5 
2 
(2.5điểm) 
Kiểm tra điều kiện và kết luận 3 3m = − ± . 0.5 
Câu 2 (4 điểm) 
Điều kiện để phương trình cĩ nghĩa là: 
2
cos 0 cos 0
hay (*)
cos 2 01 tan 0
x x
xx
≠ ≠ 
 
≠
− ≠  
0.5 
Biến đổi được phương trình đã cho trở thành 
( )
2
11 2sin 3 cos sin
cos 2
11 2sin 3 sin 2
cos 2
1
cos 2 3 sin 2
cos 2
x x x
x
x x
x
x x
x
+ − =
⇒ − + =
⇒ + =
0.5 
1. 
(2điểm) 
Với điều kiện (*) ta cĩ 
0.5 
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC 
Trang 2/5 
2
2
11 3 tan 2
cos 2
1 3 tan 2 1 tan 2
tan 2 0
tan 2 3
x
x
x x
x
x
⇒ + =
⇒ + = +
=
⇒ 
=
Vì cos 0x ≠ nên ta cĩ 
s inx 0 ( )
tan 2 3
6 2
x k
k
x kx
pi
pi pi
=
= ⇔ ∈  = += 
ℤ (thoả mãn) 
Kết luận ( )
6 2
x k
k
x k
pi
pi pi
=
 ∈
 = +

ℤ 
0.5 
Điều kiện để phương trình đã cho cĩ nghĩa là: 
[ ]3; 1x ∈ −
Đặt 
3 1t x x= + + −
0.5 
Tìm được điều kiện của biến t là 
2;2 2t  ∈  
0.5 
Biến đổi phương trình đã cho trở thành 
24 2 6 (2*)m t t= − + + 
Bài tốn trở thành tìm m để phương trình (2*) cĩ nghiệm 2;2 2t  ∈   
0.5 
2. 
(2điểm) 
Tìm được giá trị 1 32;
2 2
m
 
∈ − +  
thoả mãn bài tốn. 0.5 
Câu 3 (4 điểm) 
( )
2
32 1 2 2 (2)
1
log ( 1) 1 (3)
y xx
x
y x

−
+ − =
 +
 + + =
Điều kiện cĩ nghĩa của hệ phương trình là 
1 3x
y
− < ≤

∈ ℝ
0.5 
Từ (3) ta cĩ 21 log ( 1)y x= − + , thế vào (2) được 
( ) 21 log ( 1) 32 1 2 2 1x xx x− + −+ − = + 
0.5 
Biến đổi phương trình về dạng 2 3 1x x+ = − + 
Giải phương trình, tìm được x=2, thoả mãn điều kiện 0.5 
1. 
(2điểm) 
Tìm được 21 log 3y = − 
Kết luận 0.5 
2. 
(2điểm) 1
1 ln
7 2 ln
e
xI dx
x x
+
=
−
∫ 0.5 
Trang 3/5 
1
1 (7 2 ln ) '
2 7 2 ln
e
x x dx
x x
−
= −
−
∫
1
1 (7 2 ln )
2 7 2 ln
e d x x
x x
−
= −
−
∫ 0.5 
1
1 ln 7 2 ln
2
e
x x= − − 0.5 
1 1 1 7 2ln 7 2 ln ln 7 2ln1 ln
2 2 2 7
e
e e
−
= − − + − = −
Kết luận
0.5 
Câu 4 (6 điểm) 
Lập được phương trình đường thẳng AC là x+y+1=0 0.5 
Chỉ ra A là giao điểm của AC và đường phân giác đi qua đỉnh A của tam 
giác ABC, tìm được toạ độ A(-3; 2). 0.5 
Tìm được toạ độ điểm 11 18'( ; )
5 5
C − − đối xứng với điểm C qua đường 
phân giác đi qua đỉnh A của tam giác ABC. 
0.5 
1. 
(2điểm) 
Lập phương trình đường thẳng AC’ là 
43
5
282
5
x t
y t

= − +


= −

Chỉ ra đỉnh B là giao điểm của đường thẳng AC’ và đường cao đi qua 
đỉnh B của tam giác ABC, tìm được toạ độ đỉnh 17 33( ; )
8 8
B − − . 
0.5 
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và tìm được toạ độ G(1; 0; 2). 0.5 
Lý luận chỉ ra được để 4 4MA MB MC MD MG MG+ + + = =     đạt giá trị 
nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng ( )α . 0.5 
Lập được phương trình đường ( )∆ thẳng đi qua G và vuơng gĩc với 
mặt phẳng ( )α là 
1
2
2
x t
y t
z t
= +

= −

= −
. 
0.5 
2. 
(2điểm) 
Chỉ ra M là giao điểm của ( )∆ và ( )α , tìm được toạ độ điểm 
M(2; -2; 1). 
Tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 4 6 khi M(2; -2; 1). 
0.5 
A
B
C
D
H
E
K
M
3. 
(2điểm) 
Khơng giảm tính tổng quát, ta giả sử AB>a, khi đĩ 
{ }ax , , , ,a m AC AD BC BD CD≥ 0.5 
uon
au.violet.vn/
Trang 4/5 
+ Vẽ các đường cao BK, AE, AH lần lượt của các tam giác BCD, ACD 
và của tứ diện ABCD. 
+ Ta cĩ 1 . .
6
V AH BK CD= 
+ Đặt CD=x và gọi M là trung điểm của CD, trong tam giác BCD cĩ 
2 2 2 2 2
2 2 2 4
4 4
BC BD CD a xBM + − −= ≤ 
2 21 4 (1)
2
BK BM a x⇒ ≤ ≤ − 
0.5 
Tương tự, trong tam giác ACD ta cũng cĩ: 2 21 4
2
AE a x≤ − 
mà 2 21 4 (2)
2
AH AE AH a x≤ ⇒ ≤ − 
Từ (1) và (2) ta cĩ ( )2 21 4 (3)24V a x x≤ − 
0.5 
Xét hàm số 2 34y a x x= − trên ( ]0;a . 
Cĩ 2 2' 4 3y a x= − . 
Dễ dàng thấy ' 0y > với mọi ( ]0;x a∈ . 
Suy ra ( ]
3
0;
ax 3
x a
m y a
∈
= xảy ra khi x=a. 
Vậy 
3
.
8
aV ≤ 
0.5 
Câu 5 (1 điểm) 
+ Chứng minh được bất đẳng thức 2( ),x y x y+ ≤ + (4) với x, y là 
các số thực khơng âm. 
+ Theo (4), ta cĩ: 
1
2
a b a b a b
c c c c c
 +
= + ≥ +  
 
Tương tự ta cĩ 
1
2
b c b c
a a a
 + ≥ +  
 
, 
1
2
c a c a
b b b
 + ≥ +  
 
0.25 
Do đĩ, ta cĩ 
a b b c c a
c a b
+ + +
+ +
1 1 1
2 2 2
a b b c c a
c c a a b b
     
≥ + + + + +          
     
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
b c c a a b
      
= + + + + +      
      
0.25 
(1điểm) 
+ Chứng minh được bất đẳng thức 1 1 4
x y x y
+ ≥
+
, (5) với x, y là các số 
thực dương. 
+ Theo (5), ta cĩ 
0.25 
Trang 5/5 
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
b c c a a b
      
+ + + + +      
      
1 4 4 4
2
a b c
b c c a a b
      ≥ + +      
+ + +      
Theo (4), ta cĩ 
1 4 4 4
2
a b c
b c c a a b
      
+ +      
+ + +      
1 4 4 4
2 2( ) 2( ) 2( )
a b c
b c c a a b
      
≥ + +           + + +       
2 a b c
b c c a a b
 
= + +  + + + 
 (Điều phải chứng minh). 
0.25 
 Điểm tồn bài (20điểm) 
Lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh yêu cầu phải chặt chẽ, 
hợp logic. 
- Nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì cho điểm tương ứng theo 
thang điểm của phần đĩ. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC: 2011-2012 
ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP 12 
Ngày thi: 01/4/2012 
Thời gian làm bài: 180 phút 
(khơng kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số 4 22( 2) 2 3y x m x m= − + + − − (1) ( m là tham số). 
 1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 4 điểm cĩ hồnh độ lập thành cấp 
số cộng. 
 2. Tìm m để hàm số (1) cĩ cực đại, khơng cĩ cực tiểu. 
Câu 2: (4,0 điểm) 
 1. Tìm x để phương trình sau luơn đúng với mọi số thực a: 
2
2 2
2 2log ( 5 3 5 ) log (5 1)aa x ax x x+− + + − = − − 
 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau: 
2 2 2 2 2
x y x y m
x y x y m
 + − − =

+ − − =
Câu 3: (4,0 điểm) 
 1. Giải bất phương trình: 21 3 2( 3) 2 2x x x x− + − ≥ − + − 
 2. Cho f(x) liên tục trên [ ]0;1 . Chứng minh rằng: 
0 0
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
pi pipi
=∫ ∫ . 
Câu 4: (6,0 điểm) 
 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) 2y 64x= và (d) 4x 3y 46 0− + = . Viết 
phương trình đường trịn cĩ tâm thuộc đường thẳng (d), tiếp xúc với (P) và cĩ bán kính nhỏ 
nhất. 
 2. Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt 
đáy, SA=AB=a. 
 a. Tính diện tích tam giác SBD theo a. 
 b. Chứng minh rằng: BD vuơng gĩc với SC. 
 c. Tính gĩc giữa SC và (SBD). 
Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,a b c
và thoả mãn a b c 1+ + ≥ . Chứng minh rằng: 
5 5 5
4 4 4 1
a b c
b c a
+ + ≥ 
..................................................... HẾT ................................................... 
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh: ....................................................................................... Số báo danh: .......................... 
Giám thị 1 (Họ tên và chữ ký) ....................................................................................................................... 
Giám thị 2 (Họ tên và chữ ký) ....................................................................................................................... 
ĐỀ DỰ BỊ 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC: 2011-2012 
ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP 12 - CHUYÊN 
Ngày thi: 01/4/2012 
Thời gian làm bài: 180 phút 
(khơng kể thời gian giao đề) 
Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số 3 21 ( 1) (4 3) 3
3
y x m x m x m= + + + + + − (1) ( m là tham số). 
 1. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên [ ]1;2− . 
 2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại các điểm 1 2,x x
sao cho 1 22 1 .x x m+ = − 
Câu 2: (4,0 điểm) 
 1. Giải phương trình: 
2
2
1 tan1 4sin .cos .
6 1 tan
x
x x
x
pi + 
+ + = 
− 
 2. Tìm tham số m để phương trình sau cĩ nghiệm thực: 
 ( )( 1) 3 2 19 ( 1) 5 4 .x x x m x x+ + + + = − − + − 
Câu 3: (4,0 điểm) 
 1. Giải hệ phương trình:
( )
2
32 1 .2 2.
1
log ( 1) 1
y xx
x
y x

−
+ − =
 +
 + + =
 ( , ).x y ∈ℝ 
 2. Cho hàm số f(x) thoả mãn: ( ) ( ) ( 1) 2 1, ,f xy f x y f x y xy x x y+ − + + + = + + ∀ ∈ℝ 
và 
( )
( )
2012( ) .
2012 2012
f x
f xP x = +
 Tính 1 2011
2012 2012
A P P   = +   
   
. 
Câu 4: (6,0 điểm) 
 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cĩ đỉnh (1; 2).C −
Tìm toạ độ của 
các đỉnh A và ,B
biết đường cao đi qua đỉnh ,B đường phân giác trong đi qua đỉnh A của 
tam giác ABC
lần lượt
cĩ phương trình là 2 0x y− − = và 2 4 0x y+ + = . 
 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD cĩ toạ độ các đỉnh lần 
lượt là ( 1;2;0),A − (2;1;1),B (0; 3;4),C − (3;0;3)D
và cho mặt phẳng ( )α : 2 5 0x y z− − − = . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC MD+ + +
   
, biết M là một điểm thay đổi trong 
mặt phẳng ( )α . 
 3. Cho tứ diện ABCD cĩ một cạnh lớn hơn a và cĩ các cạnh cịn lại đều khơng lớn 
hơn a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: 
3
.
8
aV ≤ 
Câu 5: (1,0 điểm) Cho 0; 1,2,..., 2012ix i≥ = và thoả mãn hệ 
20121 2
2 2 2
1 2 2012
... 3
... 1.
x x x
x x x
+ + + =

+ + + =
 Chứng minh rằng tồn tại 3 số trong các số 0; 1,2,..., 2012ix i≥ = mà tổng của chúng 
khơng nhỏ hơn 1. 
..................................................... HẾT ................................................... 
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh: ....................................................................................... Số báo danh: .......................... 
Giám thị 1 (Họ tên và chữ ký) ....................................................................................................................... 
Giám thị 2 (Họ tên và chữ ký) ....................................................................................................................... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Trang 1/5 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2011-2012 
NGÀY THI 01/4/2012 
MƠN THI: TỐN LỚP 12 - CHUYÊN 
Bản hướng dẫn chấm cĩ 05 trang 
Câu 1 Hướng dẫn giải (5điểm) 
TXĐ: D = ℝ 
2
' 2( 1) 4 3y x m x m= + + + + 
Để y đồng biến trên [ ]1;2− thì [ ]' 0, 1;2y x≥ ∀ ∈ − 
0.5 
Với [ ]1;2x∀ ∈ − , ta cĩ 2 0x + > , nên ta cĩ thể đưa điều kiện trên về 
dạng [ ]32 , 1;2
2
m x x
x
≥ − − ∀ ∈ −
+
0.5 
[ ]1;2
32 max ( ), ( )
2x
m g x g x x
x∈ −
⇔ ≥ = − −
+
 0.5 
Tìm được [ ]1;2max ( ) 2 2 3 khi 2 3x g x x∈ − = − = − + 0.5 
1. 
(2.5điểm) 
Khẳng định được 1 3m ≥ − 
KL 0.5 
2
' 2( 1) 4 3y x m x m= + + + + 
Để y cĩ cực trị thì y’ phải cĩ hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x 
đi qua hai nghiệm đĩ. 
Suy ra ' 0∆ > 
0.5 
Tìm được điều kiện để hàm số cĩ cực trị là 
( ;1 3) (1 3; )m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ 0.5 
Với ( ;1 3) (1 3; )m ∈ −∞ − ∪ + + ∞ , áp dụng định lý Viét và kết hợp với 
1 22 1 .x x m+ = − Tìm được 1 23 5, 3.x m x m= − − = + 
0.5 
Tìm được 3 3m = − ± 0.5 
2. 
(2.5điểm) 
Kiểm tra điều kiện và kết luận 3 3m = − ± 0.5 
Câu 2 (4điểm) 
Điều kiện để phương trình cĩ nghĩa 
2
cos x 0 cos x 0
hay (*)
cos 2x 01 tan x 0
≠ ≠ 
 
≠
− ≠  
0.5 
Biến đổi phương trình đã cho trở thành 
( )
2
11 2sin 3 cos sin
cos 2
11 2sin 3 sin 2
cos 2
1
cos 2 3 sin 2
cos 2
x x x
x
x x
x
x x
x
+ − =
⇒ − + =
⇒ + =
0.5 
1. 
(2điểm) 
Với điều kiện (*) ta cĩ 
0.5 
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC 
Trang 2/5 
2
2
11 3 tan 2
cos 2
1 3 tan 2 1 tan 2
tan 2 0
tan 2 3
x
x
x x
x
x
⇒ + =
⇒ + = +
=
⇒ 
=
Vì cos 0x ≠ nên ta cĩ 
s inx 0 ( )
tan 2 3
6 2
x k
k
x kx
pi
pi pi
=
= ⇔ ∈  = += 
ℤ (thoả 
mãn) 
Kết luận 
0.5 
( )( 1) 3 2 19 ( 1) 5 4 .x x x m x x+ + + + = − − + −
Điều kiện để phương trình cĩ nghĩa là: 
[ ]3;4 (2*)x ∈ −
0.5 
Biến đổi phương trình đã cho trở thành 
( )( 1) 3 2 19 5 4 ( 1)x x x x x m + + + + − − − = − 
0.5 
Đặt 
( ) ( 1) 3 2 19, ( ) 5 4 ,f x x x x g x x x= + + + + = − − − ( ) ( ). ( )h x f x g x=
Chứng minh được f(x), g(x), f’(x), g’(x) dương với mọi x thoả mãn 
(2*) 
Suy ra h’(x)= f(x).g’(x)+f’(x), g(x) dương với mọi x thoả mãn (2*) 
0.5 
2. 
(2điểm) 
Suy ra h(x) đồng biến trên [ ]3;4−
Do đĩ để phương trình đã cho cĩ nghiệm thì 
( 3) 1 (4)h m h− ≤ − ≤
hay 
1 2 26 91 1 3 3 5 7m+ − ≤ ≤ + +
0.5 
Câu 3 (4điểm) 
( )
2
32 1 2 2 (2)
1
log ( 1) 1 (3)
y xx
x
y x

−
+ − =
 +
 + + =
Điều kiện cĩ nghĩa của hệ phương trình là 
1 3x
y
− < ≤

∈ ℝ
0.5 
Từ (3) ta cĩ 21 log ( 1)y x= − + , thế vào (2) được 
( ) 21 log ( 1) 32 1 2 2 1x xx x− + −+ − = + 
0.5 
Biến đổi phương trình về dạng 2 3 1x x+ = − + 
Giải phương trình, tìm được x=2, thoả mãn điều kiện 0.5 
1. 
(2điểm) 
Tìm được 21 log 3y = − 
Kết luận 0.5 
2. 
(2điểm) 
Cho y=-1 ta cĩ f(-x)+f(x+1)+f(x)=x+1 
Cho y=0 ta cĩ f(0)+f(x+1)+f(x)=2x+1 
Suy ra f(-x)-f(0)=-x 0.5 
Trang 3/5 
Đặt t=-x. Khi đĩ: f(t)-f(0)=t, suy ra f(t)-t=f(0)-0 (2) 
Đặt g(t)=f(t)-t. 
Từ (2) suy ra g(t)=g(0), với mọi số thực t 
Từ f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1 ta cĩ 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 0f xy xy f x y x y f x y x y− + − − − + + + − + + = 
Suy ra g(xy)+g(x-y)+g(x+y+1)=0 
Suy ra 3g(0)=0 hay g(0)=0 
( ) 0 ( ) 0, ( ) ,g t t f t t t f x x x⇒ = ∀ ∈ ⇒ − = ∀ ∈ ⇒ = ∀ ∈ℝ ℝ ℝ 
0.5 
Thử lại: f(x)=x, với mọi số thực x thoả mãn đề bài. 
Vậy f(x)=x, với mọi số thực x 
Nên 2012( )
2012 2012
x
x
P x =
+
0.5 
Ta cĩ x+y=1 thì 
( ) ( ) 2012 2012P x P y
2012 2012 2012 2012
4024 2012(2012 2012 ) 1
4024 2012(2012 2012 )
x y
x y
x y
x y
+ = +
+ +
+ +
= =
+ +
1 2011( ) ( ) 1
2012 2012
A P P⇒ = + = 
0.5 
Câu 4 (6điểm) 
Lập được phương trình đường thẳng AC là x+y+1=0 0.5 
Chỉ ra A là giao điểm của AC và đường phân giác đi qua đỉnh A của 
tam giác ABC, tìm được toạ độ A(-3; 2). 0.5 
Tìm được toạ độ điểm 11 18'( ; )
5 5
C − − đối xứng với điểm C qua đường 
phân giác đi qua đỉnh A của tam giác ABC. 
0.5 
1. 
(2điểm) 
Lập phương trình đường thẳng AC’ là 
43
5
282
5
x t
y t

= − +


= −

Chỉ ra đỉnh B là giao điểm của đường thẳng AC’ và đường cao đi qua 
đỉnh B của tam giác ABC, tìm được toạ độ đỉnh 17 33( ; )
8 8
B − − . 
0.5 
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và tìm được toạ độ 
G(1; 0; 2). 0.5 
Lý luận chỉ ra được để 4 4MA MB MC MD MG MG+ + + = =     đạt giá trị 
nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng ( )α . 0.5 
Lập được phương trình đường ( )∆ thẳng đi qua G và vuơng gĩc với 
mặt phẳng ( )α là 
1
2
2
x t
y t
z t
= +

= −

= −
. 
0.5 
2. 
(2điểm) 
Chỉ ra M là giao điểm của hai đường ( )∆ và và mặt phẳng ( )α , tìm 
được toạ độ điểm M(2; -2; 1). 0.5 
Trang 4/5 
Tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho 4 6 khi M(2; -2; 1). 
A
B
C
D
H
E
K
M
Khơng giảm tính tổng quát, ta giả sử AB>a, khi đĩ 
{ }ax , , , ,a m AC AD BC BD CD≥ 
+ Vẽ các đường cao BK, AE, AH lần lượt của các tam giác BCD, ACD 
và của tứ diện ABCD. 
+ Ta cĩ 1 . .
6
V AH BK CD= 
0.5 
+ Đặt CD=x và gọi M là trung điểm của CD, trong tam giác BCD cĩ 
2 2 2 2 2
2 2 2 4
4 4
BC BD CD a xBM + − −= ≤ 
2 21 4 (1)
2
BK BM a x⇒ ≤ ≤ − 
0.5 
Tương tự, trong tam giác ACD ta cũng cĩ: 2 21 4
2
AE a x≤ − 
mà 2 21 4 (2)
2
AH AE AH a x≤ ⇒ ≤ − 
Từ (1) và (2) ta cĩ ( )2 21 4 (3)24V a x x≤ − 
0.5 
3. 
(2điểm) 
Xét hàm số 2 34y a x x= − trên ( ]0;a 
Cĩ 2 2' 4 3y a x= − 
Dễ dàng thấy ' 0y > với mọi ( ]0;x a∈ 
Suy ra ( ]
3
0;
ax 3
x a
m y a
∈
= xảy ra khi x=a. 
Vậy 
3
.
8
aV ≤ 
0.5 
Câu 5 (1điểm) 
20121 2
2 2 2
1 2 2012
... 3 (3)
... 1 (4)
x x x
x x x
+ + + =

+ + + =
Khơng giảm tính tổng quát ta cĩ thể giả sử 
 1 2 3 2012...x x x x≥ ≥ ≥ ≥ 
Từ giả thiết (4) suy ra 1 1,2,..., 2012ix i≤ ∀ = 
0.25 (1điểm) 
Rõ ràng từ đĩ ta cĩ 
 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2( )(1 ) ( )(1 )x x x x x x x x x x x x+ + ≥ + + − − − − − − 
hay 2 21 2 3 1 2 3 1 2(3 )x x x x x x x x+ + ≥ + + − − (5) 
0.25 
Trang 5/5 
Từ (3), ta cĩ 
 20121 2 3 43 ...x x x x x− − = + + + 
Kết hợp với (5), ta cĩ 
( )
2012
2 2
1 2 3 1 2 3 3 4
2 2 2 2 2
1 2 3 4 2012
( ... )
... 6
x x x x x x x x x
x x x x x
+ + ≥ + + + + +
≥ + + + + +
(vì { }3 4 5 2012ax , ,...,x m x x x≥ ). 
0.25 
Từ (4) và (6) suy ra 1 2 3 1x x x+ + ≥ . (Đpcm) 0.25 
 Điểm tồn bài (20điểm) 
Lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh yêu cầu phải chặt chẽ, 
hợp logic. 
- Nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì cho đi