Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Văn Giang Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán 9

Phßng Gi¸o dôc - ®µo t¹o 
huyÖn V¨n Giang 
§Ò chÝnh thøc 
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn 
N¨m häc 2015 - 2016 
M«n thi: Toán 9 
Thêi gian làm bài: 120 phót 
Ngày thi: 21/10/2015 
---------------------------------------------------- 
Bµi 1 (3 ®iÓm): 
Cho biểu thức 2 1 2 1 . 2 1
2 1 2 1
+ − + − −
= −
+ − + − −
x x x xP x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Chứng minh rằng nếu 1 2≤ ≤x thì P là số vô tỉ. 
Bµi 2 (2 ®iÓm): 
a)Tìm các số tự nhiên n sao cho ( ) ( )( )1 2 3 2n n n n+ + + + là số chính phương 
 b) ìm các số tự nhiên x, y lớn hơn 1 thỏa mãn cả hai điều kiện x+1 chia hết cho y 
và y+1 chia hết cho x. 
Bµi 3 (2 ®iÓm): 
a) Cho 0 90< <O Oα . Chứng minh: 2 22020sin 2016cos 4sin 2015+ − ≥α α α 
b) Giải phương trình 1 4029 8056− + − =x x 
Bµi 4 (2 ®iÓm): 
a) Đảo Trường Sa lớn có dạng hình một tam giác vuông, cạnh huyền nằm theo 
hướng Đông Bắc- Tây Nam. Đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác này thành hai 
phần có diện tích bằng 254000 m và 296000 m . Tính độ dài cạnh huyền của tam giác 
vuông này. 
b) Cho tam giác ABC, A và B cố định, C là điểm chuyển động trên nửa mặt phẳng 
bờ AB. Dựng các hình vuông AMNC và BPQC ở phía ngoài tam giác ABC, gọi O là trung 
điểm của PM. Chứng minh tam giác OAB cố định khi C thay đổi. 
Bµi 5 (1 ®iÓm): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 22 3 3+ + =a b c abc . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 6 43 2= + + + + +P a b c
a b c
. 
-------------------------HÕt---------------------------- 
Hä vµ tªn thÝ sinh:......................................................... 
Ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 1 :........................................... 
Sè b¸o danh:.....................Phßng thi sè:....................... 
Phßng Gi¸o dôc - ®µo t¹o 
huyÖn V¨n Giang 
–––––––––––– 
§Ò chÝnh thøc 
H−íng dÉn chÊm 
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn 
N¨m häc 2015 - 2016 
M«n thi: Toán 9 
Ngày thi: 21/10/2015 
---------------------------------------------------- 
I. H−íng dÉn chung 
 1) H−íng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c b−íc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶. Trong 
bµi lµm, thÝ sinh ph¶i tr×nh bµy lËp luËn ®Çy ®ñ. 
 2) NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng 
phÇn nh− h−íng dÉn quy ®Þnh. 
 3) ViÖc chi tiÕt ho¸ thang ®iÓm (nÕu cã) so víi thang ®iÓm trong h−íng dÉn ph¶i ®¶m b¶o 
kh«ng sai lÖch víi h−íng dÉn chÊm vµ ®−îc thèng nhÊt thùc hiÖn trong Héi ®ång chÊm thi. 
 4) C¸c ®iÓm thµnh phÇn vµ ®iÓm céng toµn bµi ph¶i gi÷ nguyªn kh«ng ®−îc lµm trßn. 
II. §¸p ¸n vµ thang ®iÓm 
Bài Nội dung Điểm 
a, ĐKXĐ 1x ≥ 0,25 
Vì P>0 ta có 
( ) ( )
2
2
2
24 4
. 2 1 . 2 1
12 1
x xx x xP x x
x xx x x
+ −+ − +
= − = −
+ −+ − +
0,75 
- Với x>2 thì 2 2P x= − 0,5 
- Với 1 2 2x P≤ ≤ ⇒ = 0,5 
b, Với 1 2x≤ ≤ thì 2P = 0,25 
1 
3đ 
Do 2 là số tự nhiên không chính phương ⇒ 2 là số vô tỉ 
Vậy nếu 1 2x≤ ≤ thì P là số vô tỉ 
0,75 
a, Đặt A= ( ) ( )( )1 2 3 2n n n n+ + + + 
- Biến đổi A ta được ( )22 3 1 1A n n= + + + 
0,25 
Ta có ( ) ( )2 22 23 1 3 2n n A n n+ + < < + + 0,25 
- Do đó A không phải là số chính phương. 0,25 
Vậy không tìm được giá trị nào của n để ( ) ( )( )1 2 3 2n n n n+ + + + là số 
chính phương. 
0,25 
b, Giả sử 1 x y< ≤ . Đặt ( )*1x ky k N+ = ∈ 0,25 
Ta có 1 1 2 2 1ky x y y y y k k= + ≤ + < + = ⇒ < ⇒ = 0,25 
2 
2đ 
Với k=1, thay vào x+1=ky ta có x+1=y 
Mà 1 1 1 2 2y x x x x x x+ ⇒ + + ⇔ + ⇒
 
 
 
 { }1;2x⇒ ∈ 0,25 
Với x=1 thì y=2; với x=2 thì y=3 
Vậy ( ) ( ) ( ); 1;2 , 2;3x y = 0,25 
a) 
2 2
2 2 2
2020sin 2016cos 4sin
(4sin 4sin 1) 1 2016(sin cos )
+ −
= − + − + +
α α α
α α α α
0,5 
( ) ( )2 22sin 1 1 2016 2sin 1 2015 2015α α= − − + = − + ≥ 0,5 
b) ĐKXĐ 1 4029x≤ ≤ 0,25 
Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-xki ta có: 
( ) ( )2 21. 1 1. 4029 1 1 1 4029 8056x x x x− + − ≤ + − + − = 
0,25 
Dấu = xảy ra khi 1 4029 2015x x x− = − ⇔ = ( thỏa mãn) 0,25 
3 
2đ 
Vậy nghiệm của phương trình là x=2015. 0,25 
a, Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và 
254000AHBS m= ; 
296000AHCS m= 
CHB
A
0,25 
-Ta có AH.BH=2. 2.54000AHBS = ; AH.HC= 2. 2.96000AHCS = 0,25 
- Mà 2 4 4 6. 12 .10 120 10AH HB HC AH AH= ⇒ = ⇒ = m 0,25 
4 
2đ 
- Từ đó tính được ( ) ( )2. 2. 54000 96000 250 10
120 10
AHC AHBS SBC
AH
+ +
= = = m. 0,25 
b, 
O
C
J
I
Q
PN
M
BA
- Gọi I và J là tâm các hình vuông AMNC và BCQP 0,25 
Ta có IO//CP và IO=CJ=JB, JO//CM và JO=CI=IA 
- Ta lại có     090AIO AIC OIC CJO BJO= − = − = 
( ).g .AIO OJB c c OA OB⇒ ∆ = ∆ ⇒ = và  AOI OBJ= 0,25 
- Từ đó       0 0360 360AOB AOI IOJ JOB OBJ IOJ JOB= − − − = − − − 
      0 0180 180IOJ OJB MOI POJ OJB OJP OJB= − + = + + = − + 
  090OJC OJB= + = 
0,25 
- Suy ra tam giác AOB vuông cân tại O. Mà A, B cố định suy ra tam 
giác OAB cố định khi C thay đổi. 
0,25 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
4 3 4 4 32 2.4 .4 4
2 2 2 2
b bP a a b c a
a b c
     
= + + + + + + + ≥ + + + +     
     
2 18
2
a b+
= + 
0,25 
Mặt khác ( ) ( ) ( )2 2 2 23 2 2 4 3 2 2abc a c b c ac bc ab a b= + + + ≥ + ⇔ ≥ + 
3 2 1
2 a b
⇔ ≥ + 
0,25 
Theo BĐT Cauchy- Schwarz, ta có 
( )22 12 1 4 1 9 2 6
2 2 2
a b
a b a b a b a b
+
+ = + ≥ = ⇒ + ≥
+ +
0,25 
- Do đó 3 18 21P ≥ + = . Dấu = xảy ra khi a=b=c=2 
5 
1đ 
Vậy GTNN của P=21 khi và chỉ khi a=b=c=2. 0,25 
---------------------HÕt------------------------