Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học: 2015 – 2016 môn thi: Toán học lớp 6

PHÒNG GD&ĐT THUẬN THÀNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học : 2015 – 2016
Môn thi : Toán - Lớp 6
Thời gian làm bài : 120 phút
Ngày thi: 25/2/2016
Bài I: (4 điểm)
 Tính nhanh: 
a. (1374 . 57 + 687 . 86) : (26 . 13 + 74 . 14)
b. 19991999 . 1998 – 19981998 . 1999
c. (2 + 4 + 6 +  + 100) (36 . 333 – 108 . 111)
136 . 68 + 16 . 272
Bài II: (6 điểm)
1.Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
2. So sánh: 21995 và 5 863
3. Tìm số nguyên tố p, sao cho p+2 và p+4 đều là các số nguyên tố.
Bài III: (4 điểm) 
Cho S = 1 - 3 + 32 - 33 +  + 398 - 399 
	1. Chứng minh rằng S là bội của -20
	2. Tính S từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1.
Bài IV: (3,0 điểm) 
	Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
1. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì 
2. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì .
Bài V: (3 điểm)
 Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24. 
Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: 
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6
Bài I: (4 điểm)
1. Tính nhanh: 
a) (1374 . 57 + 687 . 86) : (26 . 13 + 74 . 14)
b) 19991999 . 1998 – 19981998 . 1999
c) (2 + 4 + 6 +  + 100) (36 . 333 – 108 . 111)
136 . 68 + 16 . 272
HD
Mỗi phần tính đúng (làm dưới dạng tính nhanh) cho 1 điểm
Bài II: (6 điểm)
1.Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
2. So sánh: 21995 và 5 863
3. Tìm số nguyên tố p, sao cho p+2 và p+4 đều là các số nguyên tố.
HD
1.(2 điểm) a.Một số tự nhiên chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Gọi số tự nhiên đó là a. Ta có a = 7m+5 và a = 13n+4 với m,n . Cộng thêm 9 cào số a ta có:
a +9 = 7m+14 = 7(m+2) 7	(1)	(0.5đ)
a +9 = 13n+13 = 13(n+1) 13	(2)	(0.5đ)
Từ (1) và (2) và (7,13)=1 ta có a+9 91 	(0.5đ)
Vậy a = 91k-9 = 91k-91 + 82 do đó a chia cho 91 dư 82.	(0.5đ)
2. So sánh: 21995 và 5 863
 Có : 210 =1024, 55 =3125 Þ 210 . 3 <55
	 Þ 21720 . 3172 <5860	(1 điểm)
Có 37 =2187 ; 210 =1024 Þ 37 >211
 3172 = (37)24. 34 > (211)24 .34> (211)24. 26 = 2270
Þ 21720.2270 < 21720 . 3172 < 5860
Vậy 21990 <5860
	 25 < 53 Þ 21995 <5863 	(1 điểm)
3. Tìm số nguyên tố p, sao cho p+2 và p+4 đều là các số nguyên tố.
	Số p có một trong ba dạng: 3k; 3k+1; 3k+2 với k N*	(0.5đ)
	Nếu p =3k thì p=3 khi đó p+2=5; p+4=7 là các số nguyên tố.	(0.5đ)
	Nếu p=3k+1 thì p+2=3k+3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p+2 là hợp số, trái với đề bài.	(0.5đ)
	Nếu p=3k+2 thì p+4=3k+6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p+4 là hợp số, trái với đầu bài.
	Vậy p=3 là giá trị duy nhất phải tìm.	(0.5đ)
Bài III: (4 điểm) 
Cho S = 1 - 3 + 32 - 33 +  + 398 - 399 
	1. Chứng minh rằng S là bội của -20
	2. Tính S từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1.
HD
	1. Tổng S có 100 số hạng, nhóm thành 25 nhóm mỗi nhóm có 4 số hạng, tổng chia hết cho – 20.	(1.5 điểm)
	2. Ta có S = 1 - 3 + 32 - 33 +  + 398 - 399	(1)
	Xét 3.S = 3 – 32 + 33 - ... -398 +399 - 3100	(2)	(0.75 điểm)
Từ (1) và (2) ta có 4S = 1- 3100; suy ra S = 	(0.75 điểm)
	Vì S là số nguyên nên 1- 3100 chia hết cho 4 hay 3100 -1 chia hết cho 4 suy ra 3100 chia cho 4 dư 1	(1 điểm)
Bài IV: (3,0 điểm) 
	Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
1. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì 
2. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì .
A
B
M
C
CA = MA + CM
0,25
CB = MB - CM
0,25
Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB)
0,5
Þ 
0,5
A
B
M
C
CA = CM + MA
0,25
CB = CM - MB
0,25
Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB)
0,5
Þ 
0,5
Bài V: (3 điểm)
 Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội của 24. 
HD
	Giả sử n+1= k2; 2n+1= m2 với k và m là các số tự nhiên khác 0.
	Ta có m là số lẻ suy ra m = 2a+1 nên m2 = 4a(a+1) +1 nên n = 2a(a+1) suy ra n chẵn do đó n+1 lẻ.
	Suy ra k lẻ suy ra k = 2b+1 nên n = 4b(b+1).
	Vậy n chia hết cho 8.	(1)
	k2 + m2 = 3n+2 chia 3 dư 2.
	Mặt khác k2 chia 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia 3 dư 0 hoặc dư 1
	Để k2 + m2 dư 2 thì k2 và m2 chia 3 dư 1 do đó m2 –k2 chia hết cho 3.
	Ta có n= (2n+1)-(n+1) = m2 –k2 chia hết cho 3	(2)
Từ (1); (2) và (8;3)=1 do đó n chia hết cho 24