Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm 2016 – 2017 môn thi: Toán học khối 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN PHÚ LỘC
------------------------------
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 08/12/2016
Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức 
	1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
	2) Rút gọn biểu thức A.
	3) Tìm giá trị của x để là số tự nhiên.
Câu 2. (4,0 điểm):
	1) Giải phương trình: 
	2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3. (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2)
	1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
	2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.
Câu 4. (6,0 điểm):
	Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
	1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
	2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng:
	3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB ( M khác A và B).
Câu 5. (2,0 điểm):
	Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
---------HẾT---------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN PHÚ LỘC
------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 08/12/2016
Câu
Ý
Lời giải
Điểm
1
(4,0đ)
1
(0,5đ)
Điều kiện: 
0,5
2
(2,0đ)
0,5
0,5
0,5
0,5
3
(1,5đ)
Với điều kiện: 
Ta có: A = 
Vì A = ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 0 ≤ ≤ 2
Do đó: khi = 1 hoặc = 2
Mà > 0 nên =1 hoặc = 
Do đó: hoặc 
Vậy là số tự nhiên khi hoặc 
0,5
0,5
0,5
2
(4,0đ)
1
(2,0đ)
Giải phương trình: 
Điều kiện: 4 ≤ ≤ 6
, dấu “=” xảy ra 
,
dấu “=” xảy ra 
 (TMĐK). Vậy nghiệm của phương trình là 
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2,0đ)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Ta có: 
 (vì )
Đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra: maxA = 1 khi x = 0
 (vì )
Suy ra: , đẳng thức xảy ra khi 
Suy ra: minA = , khi 
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
3
(4,0đ)
1
(1,5đ)
Tìm được A(0;3); B(0;7)
 Suy ra I(0;5)
1,0
0,5
2
(2,5đ)
Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x + 3 = 3x + 7
x = – 2 yJ = 1 J(-2;1) 
Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20
OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ là tam giác vuông tại J
(đvdt)
0,5
0,5
0,5
0,5
4
(4,0đ)
1
(2,0đ)
Vì CD AB CM = MD
Tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
Mà AE CD tứ giác ACED là hình thoi
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2,0đ)
Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại C, suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật
Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có:
MH.AC = MA.MC MH = 
Tương tự ta có: MK = 
MH.MK = 
Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông tại C)
MH.MK = 
Mà MC = MK ( do CHMK là hình chữ nhật)
Vậy: (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
3
(2,0đ)
Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy ra O’ cố định.
Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường.
Do đó O’C’ = OC = R không đổi
Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’;R’) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB.
0,5
0,5
0,5
0,5
5
(2,0đ)
Vì a + b + c = 1 nên
c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b)
a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c)
b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c)
nên BĐT cần chứng minh tương đương với:
Mặt khác dễ thấy: , với mọi x, y, z (*)
Áp dụng (*) ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = đpcm
0,5
0,5
0,5
0,5
Chú ý:
 1) Nếu thí sinh làm bài không làm bài theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
 2) Bài hình không vẽ hình thì không chấm điểm.