Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn thi: Toán lớp 9

phòng giáo dục và đào tạo
Đề thi chính thức
kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
môn thi: Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2015
----------------------
Câu 1 (2,5 điểm):
a/ Tính giá trị của biểu thức: P = 
b/ Rỳt gọn biểu thức với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
c/ Cho . Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức A = x5 + y5 .
Câu 2 (2 điểm):
a/ Giải phương trình: 
b/ Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x > 0; y > 0.
Câu 3 (1 điểm):
Cho hàm số y = (a – 1)x + a với a ≠ 1. 
	Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2.
Câu 4 (3 điểm):
	Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB và AC vuông góc với nhau (B và C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB và AC lần lượt tại E và F 
a/ Tính số đo góc EOF ? 
b/ Biết EF = , tính diện tích tam giác OEF và diện tích tam giác AEF.
c/ Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC sao cho EF có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5 (1,5 điểm):
a/ Cho a; b; c là các số nguyên, biết rằng a + b + c chia hết cho 6. 
	Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho 6.
b/ Chứng minh 
----------------Hết---------------
Họ và tên:........................................ SBD.................................
Chữ kí GT 1:.............................. 
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010-2011
môn: toán 9; ngày thi 11/1/2011
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2,5 đ)
a/ 
0,5
0,5
b/
0,25
0,25
0,25
0,25
c/ Tính được x + y = 6 và xy = 7
Tính được x2 + y2= 22
Và x3 + y3 = 90
Tính được x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ
0,25
0,25
Câu 2
(2 đ)
a/ Đưa được về dạng 
ĐK có nghiệm x ≥ 2
Biến đổi về PT (x – 3)(4x – 5) = 0
Tìm được x = 3 (thoả mãn); x = (loại)
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ
0,25
0,25
0,25
0,25
b/
Từ pt (2) ta có x= 4- my Thay vào (1) => m (4-my) + 4y = 10- m
=> 4m – m2y + 4y = 10- m (4-m2)y = 10-5m
 (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*)
 Để hệ pt có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất 
=> (2- m)(2+m) 0 => m 2 
=> y =  ; x= 
Giải điều kiện y > 0 tìm được m > -2
Với m > -2 và x > 0 tìm được m < 8.
Kết luận -2 < m < 8 và m 2
HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ
0,25 
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(1 đ)
a/ Tìm được OA = ẵaẵ; OB = ; 
diện tích của tam giác OAB có diện tích bằng 2 => = 4
Đưa đượcvề PT : a2 = ± 4(1 – a)
Tìm được a = 2 
và 
0,25 
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(3 đ)
a/ 
CM được ; 
=> 
Chứng minh được => 
b/ 
Tính được diện tích tam giác OEF = 
Chứng minh SOEF = SOBEFC
=> SOBEFC = 
Ta có SABOC = R2
=> SOEF = 
c/ Đặt AE = x vàAF = y Suy ra 
Chu vi tam giác AEF = 2a. 
 suy ra 
Vậy EF có dộ dài nhỏ nhất bằng khi x = y vậy M là chính giữa cung BC 
0,5
0,25
0,25
 0,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
(1,5 đ)
a/ Ta có: (a3 + b3 + c3 ) – (a + b + c ) 
 = a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1) 
Tích của 3 STN liên tiếp chia hết cho 2 và 3 nên chia hết cho 6
Từ đó suy ra a3 + b3 + c3 chia hết cho 6.
0,25
0,25
0,25
b/Chứng minh được 
Từ đó suy ra 
Dấu = xảy ra khi x = 
0,25
0,25
0,25