Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cụm môn: Toán 8

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cụm
Môn: Toán 8
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề).
A. Trắc nghiệm: Hãy chọn chữ cái A, B, C, D trước kết quả đúng:
Câu 1: M = x2 + y2 + z2
M xy + yz + xz	C. M > xy + yz + xz
M xy + yz + xz	D. M 2( xy + yz + xz)
Câu 2: Nếu x + y = 2 thì x.y:
Lớn hơn 1	C. Không bé hơn 1
Không lớn hơn 1	D. Bé hơn 1
Câu 3: Cho N = x + 
N 2	B. N > 2	C. N - 2	D. Một kết quả khác.
Câu 4: Tập nghiệm của phương trình (x2 – 6x + 9)2 – 15 x2 + 90 x – 151 = 0 gồm:
Bốn phần tử	C. Tập rỗng
Hai phần tử	D. Một phần tử
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có BD = 12, lấy E thuộc CD sao cho ED = DC, AE cắt BD ở K. Độ dài DK là:
6 	B. 4	C. 3,5	D. 3.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, AB = 9, AD = 5. Tia phân giác của góc A cắt BC tại E. Độ dài EC là:
6,5	C. 10	B. 6	D. Một kết quả khác
Câu 7: Cho x > y > 0 và x – y = 7, xy = 60 thì giá trị của x2 + y2 là
– 119	B. 169	C. 130	D. 79
Câu 8: Đa thức dư của phép chia đa thức:
P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho đa thức: Q(x) = x2 – 1 là:
A. R(x) = 5x 	B. R(x) = - 5x	C. R(x) = 5x +1	D. R(x) = 5x – 1	
B. Tự luận:
Câu 1: Cho biểu thức: P = : ( - + )
Rút gọn P
Tìm x để P < 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Câu 2: Kẻ đường cao BD và CE của tam giác ABC, các đường cao DF và GE của tam giác ADE
Chứng minh: AD.AE = AB.AG = AC.AF
Chứng minh: FG // BC
Câu 3: Cho tam giác ABC (AC > AB) lấy các điểm D, E tuỳ ý thứ tự nằm trên AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của DE, BC. Chứng minh tỉ số không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E.
Câu 4: Cho a, b, c > 0 chứng minh:
 + + 
Đáp án môn Toán 8 cấp cụm
Trắc nghiệm: 6 điểm ( Mỗi câu đúng 0.75 )
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Kết quả
A
B
D
B
D
B
B
A
Tự luận:
Câu 1: 6 điểm
a. P = : ( - + ) 	 	0.25
 = : ( + + ) 	0.25
 = : 	0.5
 = : 	0.25
 = = 	0.5
 Vậy P = 
b. P < 1 < 1 với mọi x ≠ ±1; x ≠ 0	0.5
 - 1 < 0	0.25
 < 0	0.25
Mà x2 – x + 1 = ( x - )2 + > 0	0.25
P < 1 x – 1 < 0 x < 1. Kết hợp với điều kiện ta có:
P < 1 x ≠ -1; x ≠ 0.	0.25
c. P = x – 1 + + 2	0.25
x > 1 => x – 1 > 0 => x – 1 + 2	0.5
 => P 4 . 
Dấu “=” xảy ra x = 2 ( Thoả mãn ) 	1.0
Vậy, minP = 4 x = 2.	0.25
Câu 2: 4 điểm
a. (2 đ)
BD // EG => 
=> AE.AD = AB.AG
T2 
=> AF.AD =AE.AD
=> AE.AD = AB.AG = AF.AC
( 2 đ) AB.AG = AF.AC
=> => FG // ED
Câu 3: (2 đ)
Vẽ DG // AC ( G thuộc BC)
ta có: => 
mà: => không đổi
Câu 4: ( 2 đ) Ta có: a2 + b2 2ab
 a2 + b2 - ab ab
 a3 + b3 + abc = (a + b) (a2 + b2 – ab) + abc (a + b) ab + abc 
 ( a + b > 0)
 a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Hai vế dương ta có
tương tự: 
++ 
++
Dấu bằng xảy ra a = b = c
Hướng dẫn chấm môn toán 8
A. TNKQ: Mỗi câu đúng cho 0,75 điểm
ĐA/Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
A
x
B
x
x
x
C
x
x
D
x
x
B. Tự luận
Bài 1. (2 điểm ) 
(1,0 đ) 3(x + 2) – 1 > 2(x – 3) + 4 3x + 5 > 2x – 2	0,5 đ
	3x – 2x > – 2 – 5 
	x > - 7 . Nghiệm của bpt là x > -7.	0,5 đ
(1,0 đ) (x – 2)2 + x2 2x2 – 3x – 5
 2x2 – 4x + 4 2x2 – 3x – 5	0,5 đ
 4 + 5 2x2 – 3x + 4x – 2x2
 9 x. Nghiệm của bpt là x 9.	0,5 đ
Bài 2. (4 điểm ) 
1. ( 2,0 đ )	TXĐ: 
MTC : 	0,5 đ
 	1,0 đ
 .	0,5 đ
 2. ( 2,0 đ ) Để P =3 	
 	0,5 đ
Các ước nguyên của 2 là : 	0,5 đ
Suy ra:
 	 (loại vì không thuộc TXĐ).	
 	 (loại vì không thuộc TXĐ). Vậy: với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3.	1,0 đ
A
B
D
C
E
K
G
Bài 3.( 6 điểm):
(2,0 đ)
Do BK//AD, nên (1)	0,5đ
Do AB//DG, nên (2)	0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra 	0,5đ
D đó, AE2 = EK.EG.	0,5đ
(2,0 đ)
Ta có suy ra 	 (3)	0,5đ
Tương tự:	(4)	0,5đ	
Cộng từng vế (3) với (4) ta được:
 	0,5đ
Hay 	0,5đ
( 2,0 đ)
Đặt AB = a, AD = b thì và .	1,0đ
Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên ta được:
 suy ra BK.DG = ab không đổi.	1,0đ
Bài 4.( 2 điểm):
Ta có: 	 < < 	(1)	0,5 đ
	 < < 	(2) 	0,5 đ
 	 < < 	(3) 	0,5 đ 
Cộng từng vế (1), (2), (3) :
 1 < + + < 2 	0,5 đ