Đề thi chọn học sinh giỏi bậc THPT trại hè Hùng Vương lần thứ XII năm 2015 môn: Toán lớp: 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT
 VĨNH PHÚC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII NĂM 2015
 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Môn: Toán- Lớp: 10
 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề 
Câu 1. (4 điểm) . 
Giải hệ phương trình: 
Câu 2. (4 điểm) 
Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Câu 3. (4 điểm) 
Cho số nguyên dương lớn hơn 1, chứng minh rằng số có ít nhất hai ước số nguyên tố phân biệt.
Câu 4. (4 điểm) 
Cho ABC là tam giác nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Đường thẳng PO, NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E; đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
	a. Hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau.
	b. Các điểm N, O, F, P thuộc một đường tròn.
Câu 5. (4 điểm) 
Cho tập S là tập hợp tất cả các bộ số, mỗi bộ gồm 2016 × 2016 số thực bất kỳ thuộc đoạn và có tổng bằng 0. Xét một bảng ô vuông kích thước 2016 × 2016. Tìm số dương k nhỏ nhất sao cho nếu điền bất kỳ một bộ số thuộc tập S vào bảng, mỗi ô một số thì tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột có giá trị tuyệt đối của tổng các số trên hàng đó hoặc trên cột đó không vượt quá k.
----------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT
 VĨNH PHÚC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII NĂM 2015
 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Môn: Toán- Lớp: 10
 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1.
Giải hệ phương trình: 
4
Điều kiện (*)
Khi hệ pt có nghiệm từ pt kết hợp (*) suy ra
1
Từ pt 
1
Từ pt áp dụng bđt Cauchy- Schwarz ta được 
1
Từ 
Thử lại tm hệ pt, vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm 
1
2
Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
4
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 
1
Ycbt (*)
1
Sử dụng bđt AM-GM một lần nữa, ta có
1
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 
1
3
Cho số nguyên dương lớn hơn 1, chứng minh rằng số : có ít nhất hai ước số nguyên tố phân biệt.
4
 (đpcm)
1
, ta có 
Và 
1
Giả sử rằng chỉ có một ước số nguyên tố 
1
 Nhưng 
 vô lý 
Điều giả sử là sai. Vậy có ít nhất hai ước số nguyên tố phân biệt với (đpcm)
1
4.
Cho ABC là tam giác nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Đường thẳng PO, NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E; đường thẳng BD và CE cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
	a. Hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau.
	b. Các điểm N, O, F, P thuộc một đường tròn.
4
a. Ta có 
Mặt khác suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Xét tam giác và tam giác ta có: 
 (1)
1
Do các tứ giác và nội tiếp nên 
 (2)
Từ (1) và (2) ta có và đồng dạng.
1
b. Ta sẽ chứng minh: 
 Do và đồng dạng, nên , 
lại có nên và đồng dạng suy ra 
1
Xét hai tam giác và có: (2)
Mặt khác do các tứ giác và nội tiếp nên 
 (3)
Từ (2) và (3) ta có hai tam giác và đồng dạng với nhau.
Do đó ta có: 
Ta lại có suy ra hai tam giác và đồng dạng với nhau
Do đó hay (4)
Từ (1) và (4) ta có: suy ra thuộc một đường tròn.
1
5
Cho tập S là tập hợp tất cả các bộ số, mỗi bộ gồm 2016 × 2016 số thực bất kỳ thuộc đoạn và có tổng bằng 0. Xét một bảng ô vuông kích thước 2016 × 2016. Tìm số dương k nhỏ nhất sao cho nếu điền bất kỳ một bộ số thuộc tập S vào bảng, mỗi ô một số thì tồn tại ít nhất một hàng hoặc một cột có giá trị tuyệt đối của tổng các số trên hàng đó hoặc trên cột đó không vượt quá k.
4,0
Chia bảng ô vuông thành 4 phần bằng nhau như hình vẽ. Chọn một bộ số trong S điền vào các ô vuông sao cho trong phần 1 ta điền số 1; trong phần 3 ta điền số -1; các ô vuông trong phần 2 và 4 ta điền số 0.
Với cách điền số này giá trị tuyệt đối của tổng các số trên mỗi hàng hoặc trên mỗi cột đều bằng 1008.
Ta sẽ chứng minh k=1008 là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài
1,0
Giả sử tồn tại cách điền số vào bảng ô vuông sao cho các hàng và các cột của bảng đều có giá trị tuyệt đối của tổng các số trên đó lớn hơn 1008 (1)
Nhận xét: -Nếu có bảng ô vuông thỏa mãn (1) thì đổi dấu tất cả các số của bảng ta được bảng mới cũng thỏa mãn.
 -Nếu hoán vị các hàng thì tổng các số trên mỗi cột không thay đổi, nếu hoán vị các cột thì tổng các số trên mỗi hàng không thay đổi.
1,0
Xét 1 bảng thỏa mãn (1)
Vì tổng các số trên bảng bằng 0 nên tồn tại ít nhất 1008 hàng có tổng các số trên mỗi hàng đều không âm hoặc đều không dương. Không mất tính tổng quát giả sử có ít nhất 1008 hàng có tổng các số trên mỗi hàng không âm (nếu ngược lại ta đổi dấu tất cả các số hạng). Hoán vị các hàng sao cho các hàng đó đều thuộc phần 1, phần 2.
 Tương tự tồn tại ít nhất 1008 cột có tổng các số trên mỗi cột đều không âm hoặc không dương. Hoán vị các cột sao cho các các cột thuộc phần 2 và 3 có tổng các số trên mỗi cột đều không âm hoặc đều không dương.
Gọi Si là tổng các số thuộc phần i, ta có :
 (2) (3) 
và hoặc .
1,0
Trường hợp 1: , kết hợp với (3) ta có (4)
Mặt khác vì các số thuộc nên
 Điều này mâu thuẫn với (4).
1,0
Trường hợp 2: , kết hợp với (2) ta có (5)Mặt khác vì các số thuộc nên 
 Điều này mâu thuẫn với (5).
Bài toán được chứng minh.
1,0
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải bài 4, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.