Đề thi chọn học sinh giái cấp trường năm học: 2015 - 2016 môn thi: Toán lớp: 12

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá
 Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI CẤP TRƯỜNG 
 Năm học: 2015-2016
 Mụn thi: Toán - LỚP : 12 
 Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1(4 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 1 
a)Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tỡm m để hàm số cú ba điểm cực trị đồng thời 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng .
Bài 2: (4 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau 
 a) 
 b) cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x
Bài 4: (2điểm) Giải hệ phương trỡnh 
Bài 5(2 điểm) Từ cỏc chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 viết ngẫu nhiờn một số tự nhiờn gồm 6 chữ số khỏc nhau .Tớnh xỏc suất để cỏc chữ số 0,1,2 cú mặt trong số viết được .
Bài 6:(2 điểm) Khai triển và rỳt gọn biểu thức thu được đa thức p(x) = ao + a1x+  +an xn
Tớnh hệ số a8 biết n thỏa món 
Bài 7(2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn ở A cú H(2;1) là trung điểm của BC, và đường thẳng AC cú phương trỡnh 2x – y +2 = 0.
Tỡm tọa độ điểm A.
Bài 8:(4 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SC (ABCD) , SC = , đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng a và .
a)Tớnh theo a thể tớch của khối chúp S.ABCD 
b)Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 
c)Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA,BD. 
 ..Hết.
Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá
 Trường thpt lê văn linh 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG
 Năm học: 2015-2016
 Mụn thi: Toán – LỚP : 12 
BÀI
ĐÁP ÁN
THANG
ĐIỂM
1a
y = x4 – 2mx2 + 1
a)Với m = 1 : y = x4- 2x2 + 1â
+) Tập xỏc định : D = R
+) Sự Biến thiờn: ;y’ = 4x3 – 4x ; y’ = 0 
Bảng biến thiờn
x
 -1 0 1 
y’
 0 0 0 
y
 1 	
 0 0	
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( -1;0) và ( 1; ) , nghịch biến trờn (;-1) và (0; 1) 
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yCĐ = 1
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = , yCT = 0
+) Đồ thị : ( C) cắt Oy tại (0;1) ( C) cắt Ox tại (-1;0) và (1;0)
Hàm số là hàm số chẵn nờn đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
1b
y = x4 – 2mx2 + 1
Ta cú: y’ = 4x3 – 4mx; y’ = 0 
Hàm số cú ba điểm cực trị khi và chỉ khi pt y’ = 0 cú ba nghiệm phõn biệt, hay (*) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 0 m> 0
Với m >0 đồ thị hàm số cú 3 điểm cực trị là A(0;1), B(- ; 1-m2)
C(; 1-m2)
Phương trỡnh đường thẳng BC là y + m2 – 1 = 0 
Theo bài ra SABC= 4 .Vậy m = 2thỏa món bài toỏn 
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
2a
Điều kiện:Khi đú 
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 
 x = 
0.5
0.5
0.75
0.25
2b
cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x 
0.5
1.0
0.5
4
Ta cú : (1) (*) 
Xột hàm số f(t) = t3 +t ( t R) cú f’(t) = 3t2+ 1 > 0 với mọi t
 f(t) là hàm số đồng biến trờn R mà (*) cú dạng f(x+y) = f(3y) nờn x + y = 3y x= 2y . thay vào (2) ta được 
x4 = 2x2+4x + 2 = 2(x+1)2 
Từ đú kết luận nghiệm của hệ pt
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
5
Gọi số tự nhiờn cú 6 chữ số khỏc nhau là 
+)Cú 9cỏch chọn a,cúcỏch chọn bộ 
 = 136080
Gọi A là biến cố : “số được viết cú mặt cỏc chữ số 0,1,2”
+) Cú 5 vị trớ để xếp chữ số 0 ,cú 5 vị trớ xếp chữ số 1,cú 4 vị trớ xếp chữ số 2 , cú cỏch chọn 3 chữ số cũn lại . Vậy P(A) = 
0.75
0.75
0.5
6
Suy ra a8 là hệ số của x8trong biểu thức 8(1-x)8 + 9(1-x)8 . 
Do đú a8 =8. 
1.0
0.5
0.5
7
Gọi E là hỡnh chiếu của H trờn AC .Ta cú :
HE = d(H,AC) = 
AC = = HC
AH = 2HC 
Trong tam giỏc AHC : 
Gọi A(x;y) , tọa độ điểm A thỏa món 
Vậy A(2;6) , hoặc A(-2;-2)
0.5
0.5
0.5
0.5
8a
Ta cú : SABCD = 2 SABC = AB .AC sin120o= 
	VS.ABCD = (đvtt) 
0.5
0.5
8b
Gọi H là hỡnh chiếu của C trờn AB ,ta cú 
Do đú 
Trong tam giỏc BCH : CH = BC.sin = BC sin60o= 
Tam giỏc SCH cú SC = CH , SCH vuụng cõn tại C . Vậy
0.5
0.5
0.5
8c
Kẻ OI SA . Ta cú 
Theo định lớ cụsin trong tam giỏc ABCAC= 3a
 đồng dạng với 
0.5
0.5
0.5