Đề thi chọn học sinh dự thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2010 – 2011 môn thi: Toán 9

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011 
Môn thi : Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: a) Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +  + n (n+1)(n+2). 
 Chứng minh rằng là số tự nhiên
 b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Câu 2: 
 a) Giải phương trình sau:
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3: a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. 
 Chứng minh rằng:
 .
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn (M; R) tiếp xúc với AB ở P, tiếp xúc với AC ở Q. Điểm K chạy trên cung nhỏ PQ (K khác P, Q). Tiếp tuyến của đường tròn (M; R) tại K cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
Chứng minh góc BME bằng góc MFC.
Xác định vị trí của điểm K sao cho diện tích tứ giác BEFC nhỏ nhất.
Câu 5: Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:
-------------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010-2011- MÔN TOÁN 9
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
4,5đ
a
2,5đ
Ta cã: n(n + 1)(n + 2) = n (n + 1)(n + 2). 4= n(n + 1)(n + 2). 
0.5
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - n(n + 1)(n + 2)(n - 1)
0.5
4A =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . +n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 
 - n(n + 1)(n + 2)(n - 1) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).
1.0
4A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
 = (
Vậy là số tự nhiên. 
0.5
b
2.0đ
Vì 4y2+2>0 nên (y4 + y2 + 4) -4 < y4 + y2+4<( y4 + y2+4) + (4y2 +2)
0.5
0.5
Hay y2 (y2 +1)<x(x-1)< (y2 +2)(y2 +3)
Do đ ó x (x-1) = (y2+1)(y2+2) 
0.5
Suy ra (y2+1)(y2+2)= y4+y2+42y2=2 
x2 – x - 6=0 x=-2 hoặc x=3
Nghiệm là (-2;1); (3;1); (-2;-1); (3;-1)
0.5
Câu 2
4,5đ
a
2,5đ
ĐK: .
Đặt 
0.5
Ta có hệ PT 
1.0
0.5
Giải các hệ trên ta có nghiệm của phương trình là x = 1; x = 4
0.5
b 2,0đ
0.75
Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu thì phương trình (2) vô nghiệm. Do đó hệ chỉ có nghiệm khi 
0.75
Suy ra nghiệm của hệ là x = 1, y = 2, z = 1 và x = -1, y = -2, z = -1.
0.5
Câu 3
(4đ)
a
2.0đ
0.5
0.5
Vì 1 + b2 2b; 1 + c2 2c; 1 + a2 2a nên (2).
0.5
Mặt khác vì a + b + c = 3 và ab + bc + ca a2 + b2 + c2, với mọi số 
dương a, b, c nên ab + bc + ca 3 (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh (Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1).
0.5
b
2.0đ
0.5
0.75
Suy ra M 1, đảng thức xẫy ra khi x = 1. Vây giá trị nhỏ nhất của M bằng 1 khi x = 1.
0.75
Câu 4
(5đ)
Câu 5
2,0đ
a
3.0đ
Theo tính chất tiếp tuyến ta có ME, MF lần lượt là phân giác của các góc PMK, QMK
A
B
P
E
K
F
Q
M
C
0.75
Tứ giác APMQ có
0.75
Từ đó = = 
0.75
Suy ra 
0.75
b
2.0 đ
Từ câu a suy ra tam giác BEM đồng dạng với tam giác CMF
0.5
Ta có :
0.5
= R (BE + FC +BE - BP + FC- CQ)
0.25
= R( BE + FC – BP) (do BP=CQ) 
0.25
 Không đổi
Dấu = xẩy ra khi BE = FC EF // BC K là trung điểm của cung nhỏ PQ . V ậy nhỏ nhất khi K l à trung điểm của cung nhỏ PQ
0.5
Đặt 
A
B
K
N
I
M
C
0.25
0.5
Chứng minh tương tự ta có:
0.25
Vây 
1.0
Chú ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa