Đề thi chọn học học sinh giỏi Toán 7

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
TRƯỜNG THCS XUÂN HƯNG (Thời gian làm bài 90 phút)
 Ngày thi 19/11/2015
Bài 1:(4,0 điểm) a) Cho hai số hữu tỉ và với b > 0, d > 0 và . 
 Chứng minh .
b) Chứng minh rằng nếu thì 
Bài 2:(6,0 điểm) Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
a) ;
b) 
c) 
Bài 3:(3,0 điểm) Cho a, b Q. Chứng tỏ rằng:
a) ; b) 
Bài 4:(4,0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho , trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Ay sao cho .
a) Chứng minh Ax và Ay là hai tia đối nhau.
b) Qua C vẽ đường thẳng d vuông góc với BC. Đường thẳng d có vuông góc với đường thẳng xy không ? Vì sao ?
Bài 5:(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3, 5, 1 
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D. Tính .
Hết
Họ và tên thí sinh: .................................................................. Lớp 7 ...
Họ và tên của giám thị 1: .......................................................... Chữ kí ...............................
Họ và tên của giám thị 2: .......................................................... Chữ kí ...............................
ĐÁP ÁN BÀI THI CHỌN HSG TOÁN 7 (Thi ngày 19/11/2015)
Bài 
ý
Nội dung đánh giá
Điểm
1
(4,0đ)
a
với b > 0, d > 0. Từ (1)
Thêm ab vào hai vế của (1) ta được ad + ab < bc + ab
 a(b + d) < b(a + c)
 (1)
Thêm cd vào hai vế của (1) ta được ad + cd < bc + cd
 d(a + c) < c(b + d)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
b
Từ 
Mà 
Từ 
Vậy nếu thì 
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(6,0đ)
a
 =
 =
0,5
0,5
0,5
0, 5
b
=
 =
0,5
0,5
0,5
0,5
c
0,5
0,5
0,5
0,5
3
(3,0đ)
a
Với mọi a, b Q ta có : a và - a ; b và - b 
suy ra a + b và - a - b a + b 
Do đó - 
Vậy , dấu "=" xảy ra khi xy 0
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Theo câu a ta có 
A
0,5
0,5
4.
(4,0đ)
y
x
D
- Vẽ hình, viết GT&KL
C
B
d
0,5
a
- Hai góc xAC và ACB là 2 góc so le trong mà nên Ax//BC
- Hai góc yAB và ABC là 2 góc so le trong mà nên Ay//BC
- Theo tiên đề Ơ - clit, qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC nên đường thẳng chứa các tia Ax và Ay trùng nhau
Vậy Ax và Ay là hai tia đối nhau (Điểm A nằm trên đường thẳng xy)
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng xy . Vì xy //BC nên (hai góc so le trong).
 Do đó đường thẳng d vuông góc với đường thẳng BC tại C nên .
Điều này chứng tỏ d xy
0,5
0,5
0,5
5
(3,0đ)
B
D
C
- Vẽ hình, viết GT&KL
A
0,5
a
Theo bài ra ta có: và 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
Vậy 
0,5
0,5
0,5
b
Trong ADC có ; nên
0,25
0,5
0,25
Lưu ý: Bài1b; 4; 5b: HS có thể tính cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa. Điểm thành phân cho tương ứng với thang điểm trên.