Đề thi chọn đội tuyển Toán năm 2008

Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh 
Trường Phổ thơng năng khiếu 
Đề thi chọn đội tuyển Tốn 
Ngày thi thứ nhất: 21/11/2008 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1. a) Chứng minh tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009.n – 49 là số chính 
phương. 
 b) Chứng minh khơng tồn tại số nguyên m sao cho 2009.m – 147 là số 
chính phương. 
Bài 2. Cho số nguyên dương n. Cĩ bao nhiêu số chia hết cho 3, cĩ n chữ số và các 
chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6} ? 
Bài 3. Cho tam giác ABC cĩ A cố định và B, C thay đổi trên một đường thẳng d 
cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì CABA '.' âm và khơng 
đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. 
a) Chứng minh rằng tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác BCM thuộc một 
đường thẳng cố định. 
b) Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyế của 
đường trịn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K 
thuộc một đường thẳng cố định. 
Bài 4. Cho f(x) = x
2
 + ax + b. Biết phương trình f(f(x)) = 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt 
x1, x2, x3, x4 và x1 + x2 = -1. Chứng minh rằng b ≤ -1/4. 
Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh 
Trường Phổ thơng năng khiếu 
Đề thi chọn đội tuyển Tốn 
Ngày thi thứ hai: 21/11/2008 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 5. Giả sử P(x) = (x+1)p(x-3)q = xn + a1x
n-1
 + a2x
n-2
 +  + an, trong đĩ p, q là 
các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu a1 = a2 thì 3n là một số chính 
phương. 
Bài 6. a) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta cĩ bất đẳng thức 
 2
))()((
8222 ≥
+++
+
++
++
accbba
abc
cabcab
cba
c) Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương a, b, c sao cho 
2
8
))()((
222
<
+++
+
++
++
abc
accbba
cba
cabcab
Bài 7. Cho gĩc Oxy và một điểm P bên trong nĩ. γ là một đường trịn thay đổi 
nhưng luơn đi qua O và P, γ cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Tìm quỹ tích trọng tâm G 
và trực tâm H của tam giác OMN. 
Bài 8. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng các chữ số của n. 
a) Chứng minh rằng các số n = 999 và n = 2999 khơng thể biểu diễn được 
dưới dạng a + b với S(a) = S(b). 
b) Chứng minh rằng mọi số 999 < n < 2999 đều biểu diễn được dưới dạng 
a + b với S(a) = S(b). 
Đề số 1 
Bài 1. Giải phương trình 
 22 12121 xxxx −+−=− 
Bài 2. Cho dãy {xn} xác định bởi e
n
nxn
=





+
+
1
1 . Chứng minh rằng dãy {xn} cĩ 
giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đĩ. 
Bài 3. Hai đường trịn (C1) và (C2) cắt nhau tại A và B. Gọi PQ, RS là các đoạn 
tiếp tuyến chung ngồi của các đường trịn này (P, R nằm trên (C1) và Q, S nằm 
trên (C2)). Biết rằng RB//PQ. Tia RB cắt (C2) tại điểm thứ hai W. Hãy tính tỷ số 
RB/BW. 
Bài 4. Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên sao cho với mọi n nguyên 
dương ta cĩ f(n) là ước của 2n – 1. 
Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 2a + 3b là bình phương 
của một số nguyên. 
Bài 6. Cho tam giác ABC vuơng tại A. D là điểm di động trên cạnh AC. Đường 
trịn (O) đường kính BD cắt BC tại điểm thứ hai là P. Đường cao vẽ từ A của tam 
giác ABD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của CE và DP. I là giao 
điểm của AF và DE. Đường thẳng qua I song song DP cắt đường trung trực AI tại 
M. Chứng minh M di động trên 1 đường cố định khi D di động trên AC. 
Bài 7. Tại một hội nghị cĩ 100 đại biểu. Trong số đĩ cĩ 15 người Pháp, mỗi người 
quen với ít nhất 70 đại biểu và 85 người Đức, mỗi người quen với khơng quá 10 
đại biểu. Họ được phân vào 21 phịng. Chứng minh rằng cĩ một phịng nào đĩ 
khơng chứa một cặp nào quen nhau. 
Đề số 2 
Bài 1. Cho 0 < x0, x1, , x669 < 1 là các số thực đơi một khác nhau. Chứng minh 
rằng tồn tại một cặp (xi, xj) sao cho 
2007
1
)(0 <−< ijji xxxx 
Bài 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với mọi 
n ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số. 
Bài 3. Cho đường trịn (C) đường kính AB và một điểm H cố định nằm trên AB. 
Gọi (T) là tiếp tuyến của đường trịn tại B. K là một điểm thay đổi trên (T). Đường 
trịn tâm K bán kính KH cắt (C) tại M và N. Chứng minh rằng đường thẳng MN 
luơn đi qua một điểm cố định. 
Bài 4. Tìm tất cả các hốn vị (a1, a2, , an) của (1, 2, , n) sao cho 2(a1++ak) 
chia hết cho k+1 với mọi k=1, 2, , n. 
Bài 5. Chứng minh rằng đa thức P(x) = xn + 29xn-1 + 2009 với n là số nguyên 
dương lớn hơn hay bằng 2 khơng thể phân tích thành tích của 2 đa thức với hệ số 
nguyên cĩ bậc lớn hơn hay bằng 1. 
Bài 6. Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm của đường trịn ngoại, nội 
tiếp tam giác. Chứng minh rằng ∠AIO ≤ 900 khi và chỉ khi AB + AC ≥ 2.BC. 
Bài 7. Hình vuơng được chia thành 16 hình vuơng con bằng nhau, thu được tập 
hợp gồm 25 đỉnh. Hỏi cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu đỉnh của tập hợp này để 
khơng cĩ 4 đỉnh nào của tập hợp cịn lại là đỉnh của một hình vuơng với các cạnh 
song song với cạnh của hình vuơng ban đầu? 
Đề số 3 
Bài 1. Giải hệ phương trình 





+=+
+=+
+=+
4)(
3)(
2)(
2
2
2
zyxz
yxzy
xzyx
Bài 2. Hàm số f: R R thoả mãn điều kiện f(cotg x) = sin 2x + cos 2x với mọi x 
thuộc (0, pi). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g: [-1, 1] R, 
g(x) = f(x).f(1-x). 
Bài 3. Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm B, C và A là một điểm 
thay đổi trên (O). AB, AC cắt đường trịn (O’) lần lượt tại C’, B’. Gọi M’ là trung 
điểm của B’C’. Chứng minh rằng AM’ luơn đi qua một điểm cố định. 
Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, n) thỏa mãn điều kiện: mỗi ước 
nguyên tố của an+1 cũng là ước nguyên tố của a+1. 
Bài 5. Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P2(x) – P(x2) = 2x4. 
Bài 6. Cho tam giác cân ABC với AB = AC. P là một điểm bất kỳ nằm trong hay 
nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng PA2 + PB.PC ≤ AB2. 
Bài 7. Cho A là một tập hợp gồm 8 phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 
phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kì trong các tập con này khơng phải là 
một tập hợp gồm 2 phần tử. 
Đề số 4 
Bài 1. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện : 





≥+
≥+
≥≥≥
542711
632
1
zx
zy
zyx
Tìm giá trị lớn nhất của .
200920081
222
zyx
P ++= 
Bài 2. Cho dãy số thực {xn} xác định bởi nnn xxxx +−+== + 122,1 10 với mọi 
n ∈ N. Ta xác định dãy {yn} bởi cơng thức ∑
=
∈∀=
n
i
i
in Nnxy
1
*.,2 Tìm cơng thức 
tổng quát của dãy {yn}. 
Bài 3. Cho tam giác ABC, D là một điểm bất kỳ trên tia đối của tia CB. Đường 
trịn nội tiếp các tam giác ABD và ACD cắt nhau tại P và Q. Chứng minh rằng 
đường thằng PQ luơn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi. 
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ n sao cho tồn tại các số nguyên lẻ x1, x2, 
, xn thoả mãn điều kiện x1
2
 + x2
2
 +  + xn
2
 = n
4
. 
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: R R thoả mãn điều kiện 
 f(f(x) + y)) = f(f(x) – y) + 4f(x)y 
với mọi x, y thuộc R. 
Bài 6. Cho tam giác ABC cĩ BC > AB > AC và cosA + cosB + cosC = 11/8. Xét 
các điểm X thuộc BC và Y thuộc AC kéo dài về phía C sao cho BX = AY = AB. 
 a) Chứng minh rằng XY = AB/2. 
 b) Gọi Z là điểm nằm trên cung AB của đường trịn ngoại tiếp tam giác 
khơng chứa C sao cho ZC = ZA + ZB. Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC). 
Bài 7. Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, , n}. 
Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng 
của các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi Tn là số các tập tốt của tập A. Chứng 
minh rằng Tn – n là 1 số chẵn. 
 Đề số 5 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
z
xy
y
xz
x
yzzyx
18
3
2
2
8222 +=−=+=++ 
Bài 2. Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi: 
x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3,  
Chứng minh rằng dãy số {xn} cĩ giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vơ cùng. 
Bài 3. Hai đường trịn cĩ bán kính tỷ lệ 4:1 tiếp xúc ngồi với nhau tại điểm M và 
nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho đường trịn lớn tiếp xúc với các cạnh AD, 
BC và CD, cịn đường trịn nhỏ tiếp xúc AB và AD. Tiếp tuyến chung tại M của 
hai đường trịn cắt các cạnh AD và AB tại P và Q. Hãy tính các tỷ số AP/PD và 
AQ/QB. 
Bài 4. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho 
a
b
b
a 11 +
+
+
 là số nguyên. Chứng 
minh rằng .),( baba +≤ 
Bài 5. Cho a, b, c > 0, a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
 222
222
111
cba
cba
++≥++ . 
Bài 6. Trong mặt phẳng cho đường trịn (O) và đường thẳng d khơng cĩ điểm 
chung với (O). Gọi H là hình chiếu của O lên d, gọi M là một điểm trên d (M 
khơng trùng với H). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C, D là hình 
chiếu của H lên MA, MB. Các đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Chứng 
minh rằng I là trung điểm của HK 
Bài 7. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ơ vuơng đơn vị, người 
ta bỏ đi một ơ vuơng đơn vị nào đĩ ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n. Gọi S(m;n) là 
số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ơ vuơng đơn vị của bàn cờ sao cho 
khơng cĩ ơ nào trùng với vị trí của ơ bị xĩa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá 
trị lớn nhất của S(m;n). 
Đề số 6 
Bài 1. Giải hệ phương trình 





=−+
+=+−
−=
04
41)22(
|3|||
2
xzx
yyyz
xy
Bài 2. Cho dãy số {an} xác định bởi cơng thức truy hồi a1 = 1/2, 
12
2
1
+−
=+
nn
n
n
aa
a
a . 
Chứng minh rằng a1 + a2 +  + an < 1 với mọi số nguyên dương n. 
Bài 3. Các điểm A, B, C, D, E, F theo thứ tự nằm trên một đường trịn k. Tiếp 
tuyến của đường trịn k tại các điểm A và D và các đường thẳng BF và CE đồng 
quy tại một điểm P. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC và EF hoặc song 
song với nhau, hoặc đồng quy tại một điểm. 
Bài 4. (a) Cho trước số nguyên dương n. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên 
dương phân biệt x, y sao cho x + k chia hết cho y + k với mọi k = 1, 2, , n. 
 (b) Chứng minh rằng nếu với các số nguyên dương x và y ta cĩ x + k chia 
hết cho y + k với mọi số nguyên dương k thì x = y. 
Bài 5. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn điều kiện P2(x) = P(x2) 
– 2P(x). 
Bài 6. Lục giác lồi ABCDEF cĩ ABF là tam giác vuơng cân tại A, BCEF là hình 
bình hành. AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 .2 Tính diện tích lục giác. 
Bài 7. Cho X = {1, 2, , n}. Tìm số tất cả các cặp sắp thứ tự (A, B) với A, B là 
các tập con của X sao cho A khơng phải là tập con của B và B cũng khơng phải là 
tập con của A. 
Đề số 7 
Bài 1. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: .
111
cba
cba ++≥++ Chứng 
minh rằng .
23
abccba
cba +
++
≥++ 
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f: R R thoả mãn điều kiện: 
f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1 
với mọi x, y thuộc R. 
Bài 3. Các đường chéo của hình thang ABCD cắt nhau tại điểm P. Điểm Q nằm 
giữa hai đáy BC và AD được chọn sao cho ∠AQD = ∠CQB. Điểm P và Q nằm 
khác phía nhau đối với cạnh CD. Chứng minh rằng ∠BQP = ∠DAQ. 
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n cĩ thể biểu diễn được dưới dạng 
 n = [a, b] + [b, c] + [c, a] 
trong đĩ a, b, c là các số nguyên dương. ([a, b] ký hiệu bội số chung nhỏ nhất của 
các số nguyên dương a, b). 
Bài 5. Tìm tất cả các đa thức hai biến P(x, y) sao cho P(a,b).P(c,d) = 
P(ac+bd,ad+bc) với mọi a, b, c, d thuộc R. 
Bài 6. Hãy xác định dạng của tứ giác ABCD diện tích S, biết rằng trong S tồn tại 
một điểm O sao cho 2S = OA2 + OB2 + OC2 + OD2. 
Bài 7. Với số nguyên dương n > 1 xét S = {1, 2, 3, , n}. Tơ các số của S bằng 2 
màu, u số màu đỏ và v số màu xanh. Hãy tìm số các bộ (x, y, z) thuộc S3 sao cho 
 a) x, y, z được tơ cùng màu; 
 b) x + y + z chia hết cho n. 
Bài 1 đề 1. Giải phương trình 
 22 12121 xxxx −+−=− 
Lời giải. Điều kiện để phương trình cĩ nghĩa là |x| ≤ 1. Đặt x = cost, t ∈ [0, pi] thì 
phương trình trở thành 
 )
4
2sin(.2
2
sin.2)2sin()2cos(
2
sin.2
pi
+=





⇔+=





t
t
tt
t
 t/2 = 2t + pi/4 + 2kpi ∧ t/2 = pi - 2t - pi/4 + 2kpi 
 t = -pi/6 – 4kpi/3 ∧ t = 3pi/10 + 4kpi/5 
Do t thuộc [0, pi] nên cĩ 1 giá trị t thoả mãn là t = 3pi/10. Vậy nghiệm của phương 
trình là x = cos(3pi/10). 
Bài 2 đề 1. Cho dãy {xn} xác định bởi e
n
nxn
=





+
+
1
1 . Chứng minh rằng dãy {xn} 
cĩ giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đĩ. 
Đáp số: 1/2. Hướng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức x – x2/2 < ln(1+x) < x – x2/2 
+ x
3
/3 rồi dùng giới hạn kẹp. Cĩ thể chuyển sang hàm số rồi dùng quy tắc 
L’Hopitale. 
Bài 4 đề 1. Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên sao cho với mọi n nguyên 
dương ta cĩ f(n) là ước của 2n – 1. 
Hướng dẫn. Nếu f(x) là đa thức khơng hằng thì tồn tại n sao cho |f(n)| > 1. Gọi p 
là ước số nguyên tố của f(n). Ta cĩ p | f(n) | 2n-1. Mặt khác p | f(n+p) | 2n+p-1. Suy 
ra p | 2
n+p
-2
n
 = 2
n
(2
p
-1). Do (2
n
-1, 2
n
) = 1 nên từ đây suy ra p | 2p-1. Nhưng theo 
định lý Fermat thì p | 2p – 2. Như vậy từ đây suy ra p | 1. Mâu thuẫn. Vậy f(x) phải 
là đa thức hằng. Đáp số f(x) ≡ 1, f(x) ≡ -1. 
Bài 5 đề 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 2a + 3b là bình 
phương của một số nguyên. 
Lời giải. Giả sử 22 3m n a+ = thì a là số lẻ và 2 2 3 ( 1) (mod3)m n ma = + ≡ − , do 
2 0,1(mod3)a ≡ nên suy ra m phải là số chẵn. Tiếp theo, do 
2( 1) 2 3 1(mod 4)n m n a− ≡ + = ≡ , nên n cũng phải là số lẻ, đặt 2 , 1n k k= ≥ thì 
2 ( 3 )( 3 )m k ka a= + − , do vậy 
3 2 , 3 2 ( 0, )k r k sa a r s r s m+ = − = > ≥ + = 
Thì 
12.3 2 2 1, 2 1 3 do vậy k r s r ks −= − ⇒ = + = . Vì 1r m+ = suy ra r lẻ. Nên: 
1 1
2 22 1 2 1 3
r r
k
− −  
  − + =
  
  
. Do hiệu của hai nhân tử bằng 2 và cả hai số đều khơng 
chia hết cho 3 nên 
1
22 1 1 3
r
r
−
− = ⇒ = nên 1k = . Vậy cặp ( , ) (4,2)m n = là 
nghiệm của phương trình. 
Dễ thấy rằng các số này thỏa mãn yêu cầu bài tốn. 
Bài 7 đề 1. Tại một hội nghị cĩ 100 đại biểu. Trong số đĩ cĩ 15 người Pháp, mỗi 
người quen với ít nhất 70 đại biểu và 85 người Đức, mỗi người quen với khơng 
quá 10 đại biểu. Họ được phân vào 21 phịng. Chứng minh rằng cĩ một phịng nào 
đĩ khơng chứa một cặp nào quen nhau. 
Lời giải. Mỗi một người Pháp phải quen với ít nhất 70 – 14 = 56 người Đức. Suy 
ra số cặp (Pháp, Đức) quen nhau ít nhất là 15 x 56 = 840. 
 Gọi n là số người Đức quen ≤ 9 đại biểu người Pháp (gọi là Đ1) thì ta cĩ: 
840 ≤ (85-n).10 + n.9. Suy ra n ≤ 10. Những người Đức cịn lại (Đ2) đều quen 10 
đại biểu người Pháp, do đĩ khơng thể quen với người Đức nữa. 
 Vì cĩ 21 phịng và chỉ cĩ 15 người Pháp nên cĩ ít nhất 6 phịng chỉ cĩ tồn 
người Đức. Vì chỉ cĩ nhiều nhất 10 người Đức cĩ thể quen nhau nên theo nguyên 
lý Dirichlet, trong 6 phịng này sẽ cĩ ít nhất một phịng chỉ cĩ nhiều nhất 1 người 
Đức thuộc Đ1. Phịng này chính là phịng cần tìm. 
Bài 1 đề 2. Cho 0 < x0, x1, , x669 < 1 là các số thực đơi một khác nhau. Chứng 
minh rằng tồn tại một cặp (xi, xj) sao cho 
2007
1
)(0 <−< ijji xxxx 
Hướng dẫn. Sắp xếp các số thực theo thứ tự tăng dần, sau đĩ áp dụng bất đẳng 
thức 3ab(b-a) a. 
Bài 2 đề 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với 
mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số. 
Lời giải. Ta cĩ 
 an+2 = 2an+1 – an + 2 
Thay n bằng n-1, ta được 
 an+1 = 2an – an-1 + 2 
Trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta được 
 an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 = 0 
Phương trình đặc trưng x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 cĩ nghiệm bội 3 x1,2,3 = 1 nên ta cĩ 
nghiệm tổng quát an cĩ dạng an = an
2
 + bn + c. Thay n = 1, 2, 3 ta được 
 a + b + c = 1 
 4a + 2b + c = 2 
 9a + 3b + c = 5 
Từ đĩ giải ra được a = 1, b = -2, c = 2. Vậy an = n
2
 – 2n + 2 = (n-1)
2
+1. Do đĩ 
amam+1 = ((m-1)
2
+1)(m
2
+1) = (m
2
 – m + 1)
2
 + 1 = a_{m
2
-m+2}. 
Bài 4 đề 2. Tìm tất cả các hốn vị (a1, a2, , an) của (1, 2, , n) sao cho 
2(a1++ak) chia hết cho k+1 với mọi k=1, 2, , n. 
Hướng dẫn. Chứng minh bằng quy nạp rằng chỉ cĩ 2 hốn vị thoả mãn điều kiện 
là (1, 2, 3, n) và (2, 1, 3, , n). 
Bài 5. Chứng minh rằng đa thức P(x) = xn + 29xn-1 + 2009 với n là số nguyên 
dương lớn hơn hay bằng 2 khơng thể phân tích thành tích của 2 đa thức với hệ số 
nguyên cĩ bậc lớn hơn hay bằng 1. 
Hướng dẫn. Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng như sau 
Cho đa thức P(x) = anx
n
 + an-1x
n-1
 + ... + a1x + a0 ∈ Z[x]. Giả sử tồn tại số nguyên 
tố p và số nguyên dương k thoả mãn đồng thời các điều kiện sau 
1) an khơng chia hết cho p 
2) a0 chia hết cho p nhưng khơng chia hết cho p
2
3) a1, a2, , an-k chia hết cho p 
Khi đĩ, nếu P(x) = Q(x).S(x) với Q(x), S(x) là các đa thức với hệ số nguyên thì 
một trong hai đa thức Q(x), S(x) cĩ bậc nhỏ hơn k. 
Bài 6 đề 2. Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm của đường trịn ngoại, 
nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng ·AIO ≤ 900 khi và chỉ khi 2AB AC BC+ ≥ 
Kéo dài AI cắt đường trịn (O) tại D. 
Ta cĩ DB DC= , ngồi ra: 
· · · ·
2 2
B B
DBI DBC BAD DIB= + = + = nên tam giác DBI cân tại D, nên DB DI= . 
Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác ABDC ta được: 
. . . . ( )
. ( )
AD BC AB DC BD AC AD BC BD AB AC
AD BC DI AB AC
= + ⇔ = +
⇔ = +
Vậy · 090
2
AD
AIO DI≤ ⇔ ≤ tương đương với 2AB AC BC+ ≥ . 
I 
O 
C B 
A 
Bài 7 đề 2. Hình vuơng được chia thành 16 hình vuơng con bằng nhau, thu được 
tập hợp gồm 25 đỉnh. Hỏi cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu đỉnh của tập hợp này để 
khơng cĩ 4 đỉnh nào của tập hợp cịn lại là đỉnh của một hình vuơng với các cạnh 
song song với cạnh của hình vuơng ban đầu? 
Hướng dẫn. Chứng minh bằng phản chứng. 
Bài 1 đề 3. Giải hệ phương trình 
2
2
2
( ) 2
( ) 3
( ) 4
x y z x
y z x y
z x y z
 + = +

+ = +

+ = +
Ta cĩ: 
( ) 2
( ) 3
( ) 4
x y z x
y z x y
z x y z
+ − =

+ − =
 + − =
, đặt 
; ; , ,
2 2 2
a b a c b c
a x y z b x y z c x y z z y x
+ + +
= − + + = − + = + − ⇒ = = = 
Thay vào nhận được: 
15 15
5 5
( ) 4 1
15 15
( ) 6 3
3 3
( ) 8 5
15 15
a a
a b c ab
b c a ac b b
a b c bc
c c
 
= = − 
 + = = 
    
+ = ⇔ = ⇔ = ∨ = −   
   + = =   = = −
 
  
Từ đây ta cĩ tập nghiệm là: 
2 15 3 15 4 15 2 15 3 15 4 15
( , , ) , , , ,
3 5 15 3 5 15
x y z
   
= = − − −   
   
Bài 2 đề 3. Hàm số :f →¡ ¡ thoả mãn điều kiện (cot ) sin 2 cos 2f x x x= + với 
mọi x thuộc (0, pi). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
:[ 1,1]g − → ¡ , ( ) ( ). (1 )g x f x f x= − . 
Ta cĩ 
2
2
cot 2cot 1
(cot )
cot 1
x x
f x
x
+ −
=
+
 với mọi (0; )x ∈ pi , đặt cott x= thì ta được 
2
2
2 1
( ) ,
1
t t
f t t
t
+ −
= ∀ ∈
+
¡ 
Khi đĩ 
2 2
2 2
(1 ) 8 (1 ) 2
( ) ( ). (1 )
(1 ) 2 (1 ) 2
x x x x
g x f x f x
x x x x
− + − −
= − =
− − − +
. Xét trên [ 1,1]− , đặt 
1
(1 ) 2,
4
t x x t
 
= − ⇒ ∈ −  
, khi đĩ hàm số ( )g x thành 
2
2
8 2
( )
2 2
t t
h t
t t
+ −
=
− +
. Khảo sát hàm 
số này trên 
1
2,
4
t
 
∈ −  
, ta được: 
1
2,
4
max ( ) 4 34h t
 
−  
= − và 
1
2,
4
1
min ( )
25
h t
 
−  
= 
Vậy [ ]1,1max ( ) 4 34g x− = − và [ ]1,1
1
min ( )
25
g x
−
= 
Bài 5 đề 3. Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P2(x) – P(x2) = 2x4. 
Lời giải vắn tắt. Đặt P(x) = anx
n
 + R(x) với R(x) là đa thức bậc r < n. Khi đĩ 
P
2
(x) – P(x
2
) = (an
2
 – an)x
2n
 + 2anx
n
R(x) + R
2
(x) – R(x
2
). Từ đây suy ra P2(x) – 
P(x
2
) cĩ bậc là 2n nếu an ≠ 1 và cĩ bậc n+r nếu an = 1. Từ đĩ suy ra 2 ≤ n ≤ 4. Hơn 
nữa, nếu 
 n = 4 thì an = 1 và r = 0 
 n = 3 thì an = 1 và r = 1 
Từ đây, dùng phương pháp hệ số bất định, dễ dàng tìm được các nghiệm là: x4+1, 
x
3
+x, 2x
2
 và –x
2
. 
Ghi chú: Hãy mở rộng bài tốn! 
Bài 6 đề 3. Cho tam giác cân ABC với AB = AC. P là một điểm bất kỳ nằm trong 
hay nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng PA2 + PB.PC ≤ AB2. 
Hướng dẫn. Vẽ đường trịn (C) tâm A bán kính AB. Nối BP cắt (C) tại C’. Khi 
đĩ BP.PC’ = AB
2
 – PA
2
 do đĩ ta chỉ cần chứng minh PC ≤ PC’ là xong. 
Bài 7 đề 3. Cho A là một tập hợp gồm 8 phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con gồm 
3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kì trong các tập con này khơng phải là 
một tập hợp gồm 2 phần tử. 
Lời giải. Giả sử ta tìm được n tập hợp con thoả mãn yêu cầu đề