Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 - 2014 môn Toán học

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 -2014
Môn: Toán. Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: a. Tính giá trị của biểu thức: 
 b. Tìm x; y thỏa mãn: 
Câu 2: a. Giải phương trình nghiệm nguyên: 
 	 b. Cho x ; y ; z là các số nguyên và 
 Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30.
Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:
 .
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 4: a. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm của BC là M. 
Tính giá trị biểu thức:
 b. Cho góc . Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N. Biết giá trị biểu thức không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi. 
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: a. Cho các số x; y; z không âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn: . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671. 
Chứng minh rằng: 
-------------------- Hết ----------------------
Họ và tên thí sinh ............................................................... SBD .............................
 -------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
 THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1:(4 điểm) . a) 1,5 điểm. b) 2,5 điểm 
BIỂU ĐIỂM
a) 
1,5
b) ĐKXĐ: 
0,5
Xét x = 0. Suy ra y = - 4 ( Thỏa mãn)
0,75
Xét . Biến đổi PT về dạng: 
Lập luận tính được x = y = 4 ( Thỏa mãn).
1,0
KL: hoặc 
0,25
Câu 2: (4,5 điểm) a) 2,25 điểm. b) 2,25 điểm
a) Phương trình đã cho tương đương với 
0,5
 Lập luận Mà Suy ra {} 
1,0
 thì ( loại)
 thì ( loại)
 thì ( loại)
 thì Khi đó 
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16)
0,75
b) Đặt . Ta có: 
( a ; b ; c là các số nguyên )
Xét 
0,5
Ta có : với mọi số nguyên m thì chia hết cho 30 
Thật vậy: (1) Với mọi số nguyên m thì là 5 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia hết cho 5 mà 2; 3; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia hết cho 2.3.5. Hay chia hết cho 30 (2) 
Và là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3 mà 2; 3 nguyên tố cùng nhau nên tích của chúng chia hết cho 2.3. Hay chia hết cho 30 (3)
Từ (1); (2); (3) Suy ra với mọi số nguyên m thì chia hết cho 30 
Do đó chia hết cho 30 với a; b; c là các số nguyên 
1,75
Câu 3: (2,5 điểm)
Từ giả thiết suy ra: 
 Mà suy ra (1)
 Mặt khác suy ra (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (3)
1,0
Biến đổi (3) 
1,0
 nên P = 0
0,5
Câu 4 :(5,5 điểm) a) 3 điểm. b) 2,5 điểm
a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC)
OK // BH (cùng vuông góc với AC)
Þ = (góc có cạnh tương ứng song song)
MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)
Þ = (góc có cạnh tương ứng song song)
Þ DABH đồng dạng với DMKO (1,0)
Þ ( 0,5)
Xét DAIH và DMIO có và = (so le trong)
Þ DAIH đồng dạng với DMIO Þ Þ 
1,0
Þ Þ 
0,5
b) Giả sử (1) ( a là số dương cho trước). Lấy điểm D trên Oy sao cho OD = a thì OD < ON. Vẽ DI song song với Ox ( Iđoạn MN ). Lấy E trên Ox sao cho OE = ID. Khi đó OEID là hình bình hành.
1,0
Ta có => (2)
0,75
Từ (1) và (2) => => => OE = OD = a không đổi, mà
D Oy; E Ox nên D; E cố định. Mặt khác O cố định và OEID là hình bình hành nên I cố định. Vậy d luôn đi qua I cố định (ĐPCM)
0,75
CÂU 5 (3,5 điểm) Câu a) 2 điểm. Câu b) 1,5 điểm
a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có (*) Dấu “=” xảy ra 
Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có (**)
 (luôn đúng)
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
 Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng với a = b= c = 1 ta có 
=> => 
( Có thể chứng minh BĐT trên nhờ áp dụng BĐT Bunhicopski )
1
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ... ta có: 
0,75
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các số x; y; z không âm và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn : ( Thỏa mãn)
Vậy Min x = 2; y = 1; z = 0.
0,25
b) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
 (1)
Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên
 = , và
0,75
Chứng minh: 
 (2)
= = (3)
0,5
Từ (1) và (3) ta suy ra
 Dấu “=” xảy ra x = y = z = .
0,25
( Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa tương ứng) 
----Hết-----