Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia lớp 12 THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán

UBND TỈNH BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 03 tháng 10 năm 2014
Câu 1 (3,0 điểm).
	Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: 
 	.
Câu 2 (4,0 điểm).
 	Cho dãy số thỏa mãn .
	Tính .
Câu 3 (5,0 điểm).
 	Cho không cân, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tương ứng tại . Gọi thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp của . 
	a/ Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy. 
	b/ Gọi điểm đồng quy của ba đường thẳng là . Giả sử . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Câu 4 (4,0 điểm).
 	Một số nguyên dương được gọi là “số đẹp” nếu tồn tại các số nguyên dương sao cho .
	a/ Chứng minh rằng có vô số “số đẹp”.
	b/ Số 2014 có là “số đẹp” hay không ? 
Câu 5 (4,0 điểm).
 	Xét các số nguyên dương thỏa mãn (1). Chứng minh rằng ta có thể chia tập hợp các số nguyên dương thành 2014 tập con khác tập , đôi một rời nhau sao cho cứ ba số thỏa mãn (1) thì có ít nhất hai số thuộc cùng một tập con.
------------ Hết ------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................................Số báo danh :...