Đề thẩm định học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Thiệu Hóa (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN THIỆU HOÁ
Đề chính thức
(Đề gồm 01 trang)
ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC: 2015 - 2016.
MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2016
Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức: A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A với giá trị của x thoả mãn |x+1| = |- 1|.
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2. (4,0 điểm): 
a) Giải phương trình: 
	b) Tìm các số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + 2
Câu 3. (3,0 điểm):
a) Chứng minh rằng nếu là các số tự nhiên thỏa mãn: 
thì: (m - n) và () đều là số chính phương.
b) Cho các số a; b; c thỏa mãn: . 
Tính giá trị của biểu thức: P = 
Câu 4. (5,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. 
a) Chứng minh: = .
 	b) Cho = 1200 và SAED = 36cm2. Tính SEBC?
 	c) Kẻ DHBC (HBC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH và DH. Chứng minh CQPD.
Câu 5. (2,0 điểm): Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 6. (2,0 điểm): Tìm một số có 8 chữ số: thoã mãn đồng thời 2 điều kiện sau: 
 và .
Họ tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: .........................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA
HƯỚNG DẤN CHẤM ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG 8
NĂM HỌC: 2015 - 2016
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Câu
Nội dung
Biểu điểm
Câu 1.
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm):
 ĐKXĐ : x ≠ 0, x ≠ ± 2
Rút gọn đúng A =
b) (1, 0 điểm):
 |x+1 | = | - 1| x = -2 hoặc x = 0
Với x = 0 hoặc x = -2 thì không thoả mãn ĐKXĐ nên A không có giá trị
c) (1,0 điểm):
Vì x nguyên nên để A có giá trị nguyên thì 
2 - x 
0,5đ
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 2.
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm):
Ta có:  ; 
 nên phương trình xác định với mọi 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
b) (2,0 điểm):
 Với x = 1 ta có: 0y = 3 (phương trình vô nghiệm).
 Xét x ≠ 1 ta có : y = = x + 1 + 
 Vì x, y Z nên x – 1 là ước của 3. Ta có các trường hợp sau:
 x – 1 = 1 x = 2 y = 6 (thỏa mãn)
 x – 1 = -1 x = 0 y = -2 (thỏa mãn)
 x– 1 = 3 x = 4 y = 6 (thỏa mãn)
 x – 1 = -3 x = -2 y = -2 (thỏa mãn)
 Vậy (x, y) {(4, 6), (2, 6) , (-2, -2), (0,-2)}
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3.
(3,0 điểm)
a) (1,5 điểm):
Ta có 
(*)
Gọi d là ƯCLN(m - n; 5m + 5n + 1) (m - n) d và (5m + 5n + 1) d
 (m - n) d5m - 5n d (5m + 5n + 1) + (5m - 5n) d 10m + 1 d 
Mặt khác từ (*) ta có: m d. Mà 10m + 1 d nên 1 d
 d = 1 (Vì d là số tự nhiên)
Vậy (m - n);(5m + 5n + 1) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
b) (1,5 điểm):
 Vì 
- Giả sử a < b 12a < 12b 12a – 12b < 0 mà 12a – 12b = b4 – c4 
 b4 – c4 0 ) (1)
 12b < 12c 12b - 12c < 0
Lại có: 12b – 12c = c4 – a4 
 c4 – a4 0 ) (2)
Từ (1) và (2) ta có: b < c < a Trái với giả sử
 - Giả sử a > b. Chứng minh tương tự như trên ta được 
 b > c > a Trái với giả sử
Vậy a = b 12a – 12b = 0 b4 – c4 = 0 b = c ( vì b; c > 0)
 a = b = c 
 P = 
 = 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Câu 4
(5,0 điểm)
a) (2,0 điểm):
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g)
- Từ đó suy ra 
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (c-g-c)	
- Suy ra 
b) (1,5 điểm):
- Từ = 120o = 60o = 30o	
- Xét EDB vuông tại D có = 30o ED = EB 
- Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm2
c) (1,5 điểm):
- Chứng minh PQ là đường trung bình của tam giác BHD 
 PQ // BD 
- Mặt khác: BD CD (Giả thiết)
- Suy ra: PQ DC Q là trực tâm của tam giác DPC 
	 Hay CQ PD
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 5.
(2,0 điểm)
Dựng hình bình hành ABEC, gọi F là giao của DN và AE.
Theo định lý TaLet có: Từ DM // AC 
DN // AB 
NF // CE 
Từ đó suy ra: (1) 
 Do AB = CE nên từ (1) ta có BM = FN. Theo gt BM // FN nên BMNF là hình bình hành, do đó MN = BF. Vậy MN nhỏ nhất khi BF nhỏ nhất. 
 Do B là điểm cố định, AE cố định nên BF ngắn nhất khi F là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AE.
 Từ đó điểm D được xác định như sau: Từ B hạ BF ^ AE, dựng đường thẳng qua F song song với AB cắt BC tại D.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 6.
(2,0 điểm)
Ta có: (1) và (2)
Từ (1) và (2) => 22 31
(2) => = + ó - = 
ó ( - 1). .( + 1) = 4.25. 
Nhưng ó ( - 1) ; ; ( + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp, trong đó có 1 số chia hết cho 25, nhưng số đó nhỏ hơn 50 (vì tích 48.49.50 = 117600 > ). Suy ra có 1 số là 25.
Nên chỉ có có 3 khả năng:
+ + 1 = 25 => = 24 => là số 57613824
+ = 25 => là số 62515625
+ - 1 = 25 => = 26 => Không thỏa mãn.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.