Đề tài Vai trò của Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật

LỜI NÓI ĐẦU
	Khi nghiên cứu về sự vật, hiện tượng, mỗi chúng ta có những phương pháp nghiên cứu khác nhau dựa vào cách nhìn nhận sự vật hiện tượng dưới nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, dù nhìn nhận sự, vật hiện tượng ở góc độ nào đi nữa, chúng ta cũng cần phải nắm được bản chất của vấn đề. Đó là chìa khóa để chúng ta có những đánh giá chính xác về đối tượng mà chúng ta đang nghiên cứu. Trong thực tế, mỗi sự vật, hiện tượng đều vận động một cách liên tục, không ngừng. Nếu chúng ta chỉ xét sự vật ở một góc độ riêng lẻ, tức là xem xét đối tượng một cách phiếm diện, một chiều, thì dễ đưa đến những nhận định sai lệch. Điều này rất nguy hiểm, bởi lẽ nó có thể đem lại những thiệt hại lớn trong đời sống, có khi thiệt hại cả về tính mạng, của cải. Vì thế, khi nghiên cứu chúng, ta cần phải có cái nhìn tổng thể, đa chiều để nắm bắt từng đặc tính của sự vật, hiện tượng. Từ đó, tổng hợp nên các đặc tính mang tính bản chất của chúng để có những cái nhìn đúng đắn về chúng. Chủ nghĩa Mác – Lênin đã khẳng định điều này thông qua phép biện chứng duy vật. 
	Phép biện chứng duy vật cho ta cách thức đánh giá một sự vật, hiện tượng một cách khoa học, chính xác đang được sử dụng rộng rãi trong khoa học và đời sống hiện nay. Trong tiểu luận này, xin phép được trình bày một nội dung nhỏ trong lĩnh vực Toán học. Đó là: “Vai trò của Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật”.. Toán học là một lĩnh vực khoa học lớn. Để nghiên cứu toán học cũng đòi hỏi nhiều yêu cầu. Trong nội dung tiểu luận này, chỉ xin phép trình bày nội dung ở dạng ví dụ mẫu. Hy vọng sẽ góp phần hữu ích cho đọc giả trong quá trình nghiên cứu Toán học của mình. Do thời lượng có hạn, kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế. Vì thế không tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự góp ý và chỉ bảo của bạn đọc. 
	Chuyên đề tiểu luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy phụ trách môn triết học sau đại học là GVC. Ths Trần Khải Định, trưởng khoa Lí Luận Chính Trị trường Đại học Tây Nguyên, cùng sự đóng góp ý kiến của các bạn trong lớp cao học Toán Giải Tích khóa 11, trường Đại học Tây Nguyên. Nhân đây, cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, các bạn học viên! 
PHẦN I. MỞ ĐẦU
 Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức không gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
 Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo con người và loài người nói chung. Quá trình hình thành và phát triển của triết học diễn ra quanh co, phức tạp và lâu dài. Trong quá trình đó, toán học đã đóng góp một phần rất quan trọng.
Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã hội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản thân đối tượng của toán học cũng không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội.
Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học là các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và mọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo hiện thực khách quan đó. Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển của toán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệ thống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường phái triết học khác nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn ra không ít các cuộc tranh luận về bản chất của đối tượng toán học cũng như vai trò của toán học trong quá trình nhận thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong tiểu luận luôn luôn là một vấn đề mang tính thời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung. Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân tích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự phát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thực tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của toán học thông qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với nhận xét của Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" .
Đó là lý do em chọn đề tài: “Vai trò của Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật”.
PHẦN II. NỘI DUNG
MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC TRONG QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN
 Ngay buổi bình minh của tư tưởng Tây phương, ích lợi thực tiễn của toán học đã được Herodotus(1) ghi nhận; ông cho rằng nguồn gốc của Hình học xuất phát từ những người đo đất ở Ai Cập. Thật vậy, chữ hình học theo nguyên ngữ có nghĩa là “trắc địa”. Nhưng các triết gia Hy Lạp, đặc biệt là Plato, đã tỏ ý khinh bỉ cái ý tưởng coi toán học có giá trị chỉ vì sự hữu dụng của nó trong việc khảo sát đất đai hoặc đo lường sự chuyển động của các thiên thể. Theo Plato, học toán là sự chuẩn bị lý tưởng cho tư tưởng triết lý, bởi vì nó đem trí tuệ vượt xa khỏi những sư vật thấy được và sờ được dể chú tâm vào những đối tượng trừu tượng thuần túy - những con số, những hình hình học, và những tỉ lệ. 
Lập trường của Plato đã dẫn đến một kiểu bất đồng khác về bản chất của toán học, còn mãi cho tới ngày nay. Aristote đồng ý với Plato rằng toán học có giá trị như một tri thức, hoàn toàn không kể tới những ứng dụng thực tiễn, nhưng ông phản đối mạnh mẽ ý kiến nói toán học được coi là mẫu mực cho tất cả tri thức triết học. Ông lấy làm khó chịu thấy những học trò của Plato đồng nhất hóa toán học với triết học, và các sinh viên khoa triết sẽ không lắng nghe giảng viên nào không trình bày tư tưởng của mình bằng hình thức toán học. Theo Aristotle, mỗi khoa học có một phương pháp riêng thích hợp đối với đối tượng chính yếu của nó, và do đó, phương pháp toán học không nên áp dụng trong các khoa học khác. 
Sự bất đồng từ thời thượng cổ Hy Lạp này lại tiếp tục ở thời hiện đại trong các quan điểm đối lập nhau của Descartes(2) và Kant. Là nhà toán học vĩ đại đồng thời là một triết gia, Descartes tuyên bố phương pháp toán học là con đường duy nhất dẫn đến tri thức, kể cả tri thức về vật lý vũ trụ. Đối với ông, cũng như đối với Newton và các nhà khoa học hiện đại vĩ đại khác, thế giới tự nhiên hình thành theo cách có thể được hiểu rõ nhất bằng phân tích toán học. Từ cái nhìn này, vũ trụ vật chất có một cơ cấu có thể diễn tả được bằng các thuật ngữ toán học. 
Kant thừa nhận rằng những nguyên lý toán học có thể áp dụng vào việc nghiên cứu thế giới vật lý, và ông đề cao thiên tài của Newton(3). Nhưng ông cảnh báo các triết gia coi chừng bị lạc đường vì những thành công sáng chói của toán học trong một lĩnh vực mà ở đó chỉ cần tri thức đích xác về những quan hệ định lượng. Ông nói, chúng ta không thể có được một vài tri thức quan trọng nhất bằng cách đi từ những khái niệm và châm ngôn rõ ràng đến việc chứng minh những kết luận chính xác và chắc chắn. Điều này đặc biệt đúng đối với tri thức, nơi mà những phân biệt minh bạch chỉ đạt được ở cuối quá trình truy vấn, chứ không phải ở bước đầu quá trình này. Hơn nữa phương pháp toán học không đóng một vai trò gì trong đạo đức học, mà đối với Kant thì đạo đức học là khoa học triết lý hoàn thiện nhất. 
Trong nhiều thế kỷ qua, toán học đã có những biến đổi to lớn nhưng cuộc tranh luận lâu đời này vẫn chưa ngã ngũ giữa các triết gia. Trong số các tư tưởng gia hiện đại, Bertrand Russell(4), chẳng hạn, tiêu biểu cho chủ trương dùng phương pháp toán học để tiếp cận mọi vấn đề, trong khi đó thì John Dewey(5) thích lối tiếp cận có tính chất thực chứng và sinh vật học hơn. Nhưng cho dù các triết gia có bất đồng thế nào đi nữa về giá trị của toán học như là một hình mẫu cho mọi loại tri thức, họ vẫn phải đồng ý với nhau một điều - toán học đem tới cho con người tri thức chắc chắn và xác minh thông qua sự suy luận nghiêm ngặt mà không cần đến sự hỗ trợ của thí nghiệm và nghiên cứu thực nghiệm 
Tính chất chính xác, nghiêm ngặt và thuần lý của toán học đã đưa nó lên vị trí cao trong cái nhìn của các nhà giáo dục mọi thời đại. Như Plato khẳng định, toán học là môn học hướng dẫn lý trí trong việc nghiên cứu các đối tượng và những mối liên hệ trừu tượng. Nó cung cấp một bằng chứng về suy luận diễn dịch, là thứ suy luận đi từ những tiền đề sáng rõ đến những kết luận tất yếu. 
“Giá trị thực hành” cao nhất của toán học là trong việc phát triển trí tuệ con người. Có nhiều ứng dụng hằng ngày của toán học: đo đạc địa hình, thiết kế nhà cửa và quần áo, vạch quỹ đạo súng pháo binh Nhưng ngay cả khi các máy tính điện tử và các phương tiện tối tân khác thay thế cho mọi tính toán của con người, lý trí chúng ta vẫn phải cần đến nguyên lý toán học để nắm được một phương diện thiết yếu của thế giới chúng ta đang sống. 
Toán học chứa đựng trong nó những những đặc điểm của lý trí, của lập luận trừu tượng và hướng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ. Những yếu tố cơ bản và đối lập lẫn nhau của nó là lôgic và trực giác, giải tích và phép dựng hình, tính khái quát và tính cụ thể. Với mọi quan điểm khác nhau bắt nguồn từ truyền thống này hay truyền thống khác, sự tác động đồng thời của những thái cực đó và sự đấu tranh để tổng hợp chúng lại sẽ đảm bảo cho sức sống, sự bổ ích và giá trị cao của khoa học toán học.
Sự tiến lên trong phạm vi toán học được quy định bởi sự phát sinh những nhu cầu có tính chất thực tiễn nhất định. Nhưng, tất yếu phải có một cái đà nội tại vượt ra ngoài giớ hạn của lợi ích trực tiếp. Sự biến đổi từ một khoa học ứng dụng sang một khoa học lý thuyết như vậy đã diễn ra trong lịch sử xa xưa, song ngày nay cũng vẫn còn như thế: chỉ cần để ý đến sự đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật lý trong toán học hiện đại cũng đủ rõ. Những phong cánh tư duy toán học cổ xưa nhất đã xuất hiện ở phương Đông khoảng hai nghìn năm trước công nguyên: người Babilon đã tập hợp được chất liệu phong phú, cái mà ngày nay ta có xu hướng xếp vào đại số sơ cấp. Nhưng từ “toán học” được xem như một khoa học theo một ý nghĩa hiện nay, đã phát sinh chậm hơn ở trên mảnh đất Hy Lạp vào khoảng thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên. Mọi sự tiếp xúc ngày càng tăng giữa phương Đông và Hy Lạp bắt đầu từ đế quốc Ba Tư và đạt tới đỉnh trong thời kỳ tiếp ngay sau cuộc du lịch của Alecxăngđrơ đã bảo đảm cho người Hy Lạp đuổi kịp những thành tựa của người Babilon trong lĩnh vực toán học và thiên văn học. Toán học đã nhanh chóng trở thành đối tượng của các cuộc thảo luận về triết học thông thường tại các Nhà nước – thành phố Hy Lạp. Như vậy, các nhà tư tưởng Hy Lạp đã nhận thức được những khó khăn đặc biệt có liên quan với những khái miệm toán học cơ bản – sự liên tục, sự chuyển động, cái vô hạn – và bài toán đo các đại lượng tùy ý bằng các đơn vị cho trước. Nhưng đã có quyết tâm vượt khó khăn: nảy sinh do kết quả của một sự cố gắng tuyệt vời của tư tưởng Evđôkxôp, lý thuyết continum hình học là một thành tựu có thể sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ hiện đại. Phương hướng tiên đề suy diễn trong toán học, bắt đầu từ Evđôkxôp, đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm “khởi đầu” Ơclit.
Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của khoa học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của các nhu cầu thực tiễn và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ thấp chút nào trong việc sáng tạo ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày toán học không theo phong cánh chặt chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích hơn.
Sự phát hiện quá sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô ước” đã cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán bằng số mà trong những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng kể ở phương Đông. Thay thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong rừng rậm của hình học tiên đề thuần túy. Thế là bắt đầu một trong những cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học mà trong đó có thể bỏ lỡ những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn năm, sự thống trị của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư tưởng về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã được đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác.
Sau một thời gian tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng bão táp trong sự phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng với sự nảy sinh hình học giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ XVII. Trong các thế kỷ XVII và XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy logic hoàn hảo xuất phát từ những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển nhiên” không mâu thuẫn với nhau đã không còn làm vừa lòng những người khai phá kiến thức toán học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định huyền bí phi lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng của các quy trình hình thức, họ đã phát hiện ra một thế giới toán học mới vô cùng phong phú. Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý thức về sự cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu cầu của giáo dục cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn tới sự xét lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích phân và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những đã trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu bởi sự trở lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của các chứng minh. Về mặt này thì khuôn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một lần nữa, con lắc đã nghiêng về sự hoàn hảo lôgic và sự trừu tượng. Hiện nay, chúng ta còn chưa vượt ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo nên giữa toán học thuần túy và những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay thế bởi sự thống nhất chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay, một khối lượng những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên cơ sở của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết toán học sao cho những ứng dụng không bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ toán học trong một tương lai gần đây.
Dù ta đứng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu khoa học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và đối với các công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải là trí thức, chưa phải là sự thông hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau và cắt nghĩa bằng thuật ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật tự thân” (*) không phải là đối tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng đối với một phương pháp khoa học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận siêu hình, chung quy là sự biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái niệm và các phép dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”. Nhận thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm ngây thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của khoa học hiện đại.
Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự kiện đồng thời, phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những hiện tượng quan sát và khi ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này tất phải có một ý nghĩa chính xác nào đó mới chỉ là một tiên đoán siêu hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng mầm mống của lý tương đối của ông. Khi Niels Bohr và các học trò của ông cân nhắc kỹ sự kiện một quan sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa dụng cụ và vật được quan sát thì ông đã thấy rõ rằng không thể một định nghĩa vị trí và vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết. Trong thế kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng các lực cơ học và chuyển động của các phân tử trong không gian là các vật tự thân; còn điện, ánh sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học (hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ cơ học) tương tự như đã làm với lý thuyết nhiệt. Khái niệm về một môi trường có tính chất giả định – gọi là môi trường “ête” - đã được đề xuất cho thích hợp với những chuyển động cơ học không hoàn toàn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và điện. Dần dà đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc về siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một cách cơ học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về ê-te đã bị dứt khoát loại bỏ.
Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí còn rõ ràng hơn. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà họ quan tâm – số, đường thẳng v.v ... như là những vật tự thân. Song, vì những bản thể đó không thích hợp với ý định mô tả chính xác về bản chất của chúng, trong các nhà toán học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng cho rằng vấn đề về giá trị của những khái niệm đó xem như những thực thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu) cũng đều không có ý nghĩa. Những khẳng định toán học mà những thuật ngữ đó thâm nhập vào toán học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối liên hệ tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề điểm, đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có liên quan trực tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên hệ tương hỗ giữa các sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng; theo những quy tắc nhất định thì từ các số này ta suy ra được các số khác v.v... 
Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho rằng các khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một trong những chiến công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện nay của toán học.
May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng triết học giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết còn quyến luyến chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với những người yêu thích toán học thì không phải triết học mà chỉ có sự tân tụy nghiên cứu bản thân toán học mới có thể trả lời được câu hỏi: Toán học là gì?
ẢNH HƯỞNG CỦA TOÁN HỌC ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TRIẾT HỌC VÀ CÁC NGÀNH KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại lượng lấy những giá trị cố định. Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở của lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học. Thí dụ từ quan hệ a = b, b = c suy ra a = c. Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên văn học là tương đối phát triển. Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vào cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạn