Đề tài nghiên cứu khoa học phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Tr-êng THPT CHUY£N QU¶NG B×NH 
Đề tài nghiên cứu khoa học 
PH¦¥NG PH¸P CHøNG MINH 
BÊT §¼NG THøC 
Giáo viên hƣớng dẫn : NguyÔn ChiÕn Th¾ng 
Nhãm t¸c gi¶: TËp thÓ chuyªn To¸n khãa 2012-2015 
 - 2 - 
LỜI NÓI ĐẦU 
Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan 
tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo 
của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho 
người giải. Bất đẳng thức là một trong những dạng toán hay và khó đối với 
học sinh trong quá trình học tập cũng như trong các kỳ thi, trước hết là kỳ thi 
đại học mà hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua. Ngoài ra bất đẳng thức 
cũng là một dạng thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp 
tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế. 
Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí 
thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học. 
 Trong đề tài nghiên cứu khoa học này, tập thể lớp 10 Toán trường THPT 
Chuyên Quảng Bình xin trình bày một số vấn đề về bất đẳng thức, một số 
phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Đề tài gồm các bài viết của các 
nhóm tác giả được trình bày dưới dạng các chuyên đề. 
 Nhóm tác giả 
 - 3 - 
MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................ 2 
MỤC LỤC .................................................................................................................. 3 
BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ ỨNG DỤNG...................................... 7 
1. Bất đẳng thức AM-GM ........................................................................................... 7 
1.1. Định lí ................................................................................................................... 7 
1.2. Chứng minh ........................................................................................................ 7 
1.3. Các dạng thường gặp ......................................................................................... 8 
2. Ví dụ.............................................................................................................................. 8 
3. Bài tập tự giải ............................................................................................................23 
BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI VÀ ỨNG DỤNG...................... 24 
1. Bất đẳng thức Minkowski ......................................................................................24 
1.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng 1 ....................................................................24 
1.1.1 Định lí ..........................................................................................................24 
1.1.2 Chứng minh................................................................................................24 
1.2 Bất đẳng thức Minkowski dạng 2......................................................................25 
1.2.1 Định lí .........................................................................................................25 
1.2.2 Chứng minh................................................................................................25 
2. Ví dụ.............................................................................................................................25 
3. Bài tập tự giải ............................................................................................................28 
 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ ỨNG DỤNG ............................... 29 
1. Bất đẳng thức Holder .............................................................................................29 
1.1 Dạng tổng quát ....................................................................................................29 
1.1.1 Định lí ..........................................................................................................29 
1.1.2 Chứng minh................................................................................................29 
1.2 Mở rộng 1 của bất đẳng thức Holder ..............................................................30 
1.3 Mở rộng 2 của bất đẳng thức Holder ..............................................................30 
1.4 Mở rộng 3 của bất đẳng thức Holder ..............................................................30 
2. Ví dụ.............................................................................................................................30 
3. Bài tập tự giải ............................................................................................................41 
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ .......................................... 43 
 - 4 - 
1.Bất đẳng thức Cauchy-schwarz .............................................................................43 
1.1. Định lí ..................................................................................................................43 
1.2. Chứng minh .......................................................................................................43 
1.3. Hệ quả .................................................................................................................45 
2. Ví dụ.............................................................................................................................45 
3. Bài tập tự giải ............................................................................................................78 
BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV ..............................................................82 
1.Bất đẳng thức Cheybyshev .....................................................................................82 
1.1. Định lí ..................................................................................................................82 
1.2. Chứng minh .......................................................................................................82 
2. Ví dụ.............................................................................................................................83 
3. Bài tập tự giải ............................................................................................................96 
BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD ...................................................... 97 
1. Giới thiệu bất đẳng thức Muirhead......................................................................97 
2. Một số khái niệm liên quan đến Bất đẳng thức Muirhead .............................97 
2.1. Bộ trội ..................................................................................................................97 
2.2. Trung bình loại .............................................................................................98 
2.3. Tổng hoán vị .......................................................................................................98 
2.4. Tổng đối xứng ....................................................................................................98 
2.5. Lược đồ Young ...................................................................................................99 
3. Định lý Muirhead .....................................................................................................99 
4. Kỹ thuật sử dụng định lí Muirhead ................................................................... 101 
Phương pháp chung ............................................................................................... 101 
5. Sử dụng định lý Muirhead với AM – GM, Holder, ASYM, Schur ............ 102 
5.1. Bất đẳng thức AM – GM ................................................................................ 102 
5.2. Bất đẳng thức Holder ...................................................................................... 102 
5.3. Bất đẳng thức ASYM ...................................................................................... 102 
5.4. Sử dụng định lý Muirhead với bất đẳng thức Schur ................................. 102 
6. Ví dụ........................................................................................................................... 103 
7. Bài tập tự giải .......................................................................................................... 112 
[ ]a
 - 5 - 
PHƢƠNG PHÁP PQR ...................................................................................... 114 
1. Kiến thức liên quan ................................................................................................ 114 
1.1. Định nghĩa và các phép biến đổi ................................................................... 114 
1.2. Phương pháp pqr kết hợp bất đẳng thức Schur .................................. 114 
1.3. Mở rộng phương pháp pqr kết hợp hàm số ................................................ 117 
2. Bài tập tự giải .......................................................................................................... 119 
PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƢƠNG S.O.S 
............................................................................................................................................ 124 
1. Lý thuyết và ví dụ .................................................................................................. 124 
1.1 Định lý và các kĩ thuật phân tích ................................................................... 124 
1.2. Các tiêu chuẩn và kĩ thuật sắp xếp biến ...................................................... 130 
1.3. Ứng dụng tìm hằng số k tốt nhất .................................................................. 135 
2. Bài tập tự giải .......................................................................................................... 137 
3. Mở rộng..................................................................................................................... 141 
SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP S.O.S TRONG CHỨNG MINH 
BẤT ĐẲNG THỨC .............................................................................................. 142 
1. Lời nói đầu .............................................................................................................. 142 
2. Xây dựng định lí, tiêu chuẩn ............................................................................... 142 
3. Phân tích cơ sở ........................................................................................................ 143 
4. Các ứng dụng của phƣơng pháp S.O.S ............................................................. 144 
5. Bài tập vận dụng .................................................................................................... 149 
6. Bài tập dành cho bạn đọc ..................................................................................... 151 
PHƢƠNG PHÁP DỒN BIẾN ....................................................................... 153 
1. Kiến thức liên quan ............................................................................................... 153 
2. Ví dụ minh họa ....................................................................................................... 157 
3. Bài tập vận dụng .................................................................................................... 184 
SỬ DỤNG TIẾP TUYẾN TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT 
ĐẲNG THỨC .......................................................................................................... 187 
1. Phƣơng trình tiếp tuyến tổng quát .................................................................... 187 
2. Sử dụng tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức ......................................... 187 
3. Ví dụ .......................................................................................................................... 188 
 - 6 - 
PHƢƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE ......................................... 203 
1. Cơ sở lí thuyết ......................................................................................................... 203 
2. Một số ví dụ ............................................................................................................. 204 
3. Bài tập vận dụng .................................................................................................... 215 
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 218 
 - 7 - 
BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ ỨNG DỤNG 
Đoàn Quốc Đạt – Ngô Hoàng Thanh Quang 
1. Bất đẳng thức AM-GM 
1.1. Định lí 
Định lí (Bất đẳng thức AM-GM). Với mọi số thực dương 1 2, ,..., na a a ta có bất đẳng 
thức 
1 2
1 2
...
...n n n
a a a
a a a
n
  
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 
1.2. Chứng minh 
Phương pháp “Quy nạp Cauchy” 
Với 
 
2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 22 : 0
2 2 2
a aa a a a
n a a a a
 
      (đúng) 
Giả sử bất đẳng thức đúng với n k ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với 
2n k . Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: 
1 2 2 1 2 1 2 2... ... ...1
2 2 2
k k k k ka a a a a a a a a
k k k
            
 
2
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2... ... ... ... ... ...
k k k k k
k k k k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a       
Giả sử bất đẳng thức đúng với n p ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với 
1n p  . 
Thật vậy, xét 1p số: 1 2 1, ,..., 0.pa a a   Sử dụng giả thiết quy nạp với n p ta có: 
1
1 2 1 1 2 1
1 1
1 1 1 1 1 2 1
... ...
... . ... ...
p
p p p p p
p p p
a a a a a a
a a a a a a a
p

 
 
  
   
  
1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1... ... . ...
p p
p p pa a a a a a p a a a
 
        
 - 8 - 
  1 2 11 11 2 1 1 2 1 1 1
...
... 1 . ... ...
1
pp p
p p p
a a a
a a a p a a a a a
p
 
  
  
       

Theo nguyên lí quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi 2, .n n   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 
1.3. Các dạng thường gặp 
n 2n  3n  4n  
Điều kiện , 0a b  , , 0a b c  , , , 0a b c d  
Dạng 1 
2
a b
ab

 3
3
a b c
abc
 
 4
4
a b c d
abcd
  
 
Dạng 2 
2
2
a b
ab
 
 
 
3
3
a b c
abc
  
 
 
4
4
a b c d
abcd
   
 
 
Dấu bằng a b a b c  a b c d   
2. Ví dụ 
Ví dụ 1: (Bất đẳng thức Nesbit) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm , ,a b c 
ta có 
3
2
a b c
b c a c a b
  
  
Giải: Xét các biểu thức sau 
a b c
S
b c a c a b
b c a
M
b c a c a b
c a b
N
b c a c a b
  
  
  
  
  
  
Ta có 3M N  . Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì 
 - 9 - 
3
3
a b b c c a
M S
b c a c a b
a c a b b c
N S
b c a c a b
  
    
  
  
    
  
Vậy 2 6 2 3M N S S     hay 
3
2
a b c
b c a c a b
  
  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  (đpcm) 
Nhận xét: Bài này còn nhiều cách giải khác nhưng có lẽ đây là cách hay nhất vì 
việc nghĩ ra các biểu thức ,M N không phải là dễ dàng. 
Ví dụ trên phần nào cho ta thấy được sức mạnh và sự tinh tế của bất đẳng thức AM-
GM, nhưng đó chỉ mới là một ví dụ đơn giản. Chúng ta sẽ xét đến kĩ thuật thêm bớt 
trong bất đẳng thức AM-GM qua ví dụ sau. 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm , ,a b c ta có 
2 2 2
2
a b c a b c
b c a c a b
 
  
  
Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 
2 2
2 .
4 4
a b c a b c
a
b c b c
 
  
 
2 2
2 2
2 .
4 4
2 .
4 4
b a c b a c
b
a c a c
c a b c a b
c
a b a b
 
  
 
 
  
 
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có: 
2 2 2
2
a b c a b c
a b c
b c a c a b
 
     
  
Hay 
2 2 2
2
a b c a b c
b c a c a b
 
  
  
 - 10 - 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  (đpcm) 
Nhận xét: Đây là dạng bài tập đánh giá điểm rơi từ AM sang GM. Nếu những ai 
mới chỉ tiếp xúc qua bất đẳng thức AM-GM thì có thể nhận xét rằng việc tìm ra 
đánh giá 
2 2
2 .
4 4
a b c a b c
a
b c b c
 
  
 
 có vẻ mang nhiều tính may mắn. Nhưng 
không phải vậy, chúng ta cùng để ý, điểm rơi của bất đẳng thức trên tại a b c  . 
Khi đó 
2
2
a a
b c


, chúng ta phải tạo ra một biểu thức để vừa có giá trị bằng 
2
a
, vừa 
có thể loại được mẫu của biểu thức 
2a
b c
. Hơn nữa, 2 vế của bất đẳng thức là đồng 
bậc 1, từ đó dễ dàng nhận ra biểu thức thêm vào phải là 
4
b c
. 
Sử dụng kết quả bài này ta có thể làm bài toán sau: 
Ví dụ 3: [IMO 1995] Cho , , 0a b c  thỏa mãn 1abc  . Chứng minh rằng: 
     3 3 3
1 1 1 3
2a b c b a c c a b
  
  
 (1) 
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
     3 3 3
1 1 1 1
2
abc abc abc
a b c b a c c a b a b c
 
     
    
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2
a b c
a b c
b c a c a b
 
      
   
Đặt 
1 1 1
, ,x y z
a b c
   , ta quay trở lại ví dụ 2. 
Nhận xét: Bài này có thể giải bằng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz mà chúng ta sẽ 
xét trong phần sau. 
Ví dụ 4: Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng: 
2 2 2 4
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
 
  
     
 - 11 - 
Giải: Ta có: 
   
   
   
1 1 1
.
2 4
1 1 1
.
2 4
1 1 1
.
2 4
ab ab
ab
a b c a c b c a c b c
bc bc
bc
b c a a b b c a b b c
ca ca
ca
c a b a b b c a b b c
 
   
       
 
   
       
 
   
       
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  
Nhận xét: Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng 
mẫu số: Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Ta có: 
  21 2
1 2
1 1 1
... ...n
n
a a a n
a a a
 
       
 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a   . 
Ví dụ 5: Cho 3 số , ,a b c không âm, chứng minh rằng: 
     
3 3 3
3 3 33 3 3
1
a b c
a b c b a c c a b
  
     
Giải: Xét bất đẳng thức phụ sau: 
 
2
31 1 0
2
x
x x     
Thật vậy, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: 
   
2 2
3 2 1 11 1 1 1
2 2
x x x x
x x x x
   
        (1) 
Áp dụng vào bài toán ta có: 
 
3 2
3 3 2 2 2 23
1 1
1
1 1
2
a a
a b ca b c b c b c
a a
  
       
    
   
Tương tự ta có 
 - 12 - 
 
3 2
3 2 2 23
b b
a b cb a c

  
 
3 2
3 2 2 23
c c
a b cc a b

  
Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  . 
Nhận xét: Bài toán trên thuộc dạng bài tập đánh giá điểm rơi của bất đẳng thức từ 
biểu thức GM sang AM. Điểm khó của ví dụ trên là nằm ở chỗ đổi biến và tìm ra bất 
đẳng thức phụ (1). Bài tập trên còn có thể giải bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. 
Ví dụ 6 [diendantoanhoc.net] Cho 3 số thực dương , ,a b c thỏa mãn 1ab bc ca  
.Chứng minh rằng: 
2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 1 1 1
ab bc ca a b c
         
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
2
2
3
cyc
ab bc ca ab bc ca ab bc ca a ab bc ca
ab bc ca a
        
    
  
3 3
.cyc cyc cyc
a b a ca b
b a a a
 
       
Mà theo bất đẳng thức AM-GM thì 
   1
6
. 2cyc cyc cyc
a b a c a b
a a b a
  
   
 
   
Cần chứng minh 6
cyc cyc
a b
b a
   (hiển nhiên đúng theo AM-GM) 
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1
3
a b c   
 - 13 - 
Nhận xét: Với bài toán trên, nếu khéo léo sử dụng giả thiết 1ab bc ca   thì bài 
toán sẽ trở nên đơn giản. 
Ví dụ 7: Cho các số thực dương , ,a b c . Chứng minh: 
a b c a b b c c a
b c a c a a b b c
  
    
  
Giải: Đặt , ,
a b c
x y z
b c a
   . Khi đó, ta có: 
1 1
1 1
a b yz y
y
c a z z
  
  
  
Bài toán quy về việc chứng minh: 
1 1 1
0
1 1 1
x y z
y z x
  
  
  
        2 2 21 1 1 1 1 1 0x z y x z y          
2 2 2 2 2 2 3x z z y y x x y z x y z          
Dễ thấy