Đề ôn thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Đề số 17 - Năm học 2017-2018

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 17
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng A = là số nguyên.
b) Cho x là số thực dương thỏa mãn Tính giá trị biểu thức A = và B = 
Câu 2. (3 điểm)
	Cho biểu thức P = 	
Rút gọn biểu thức P.
Với giá trị nào của x thì P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 3. (4 điểm)
a)Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 5 thì chia hết cho 5.
b) Giải phương trình: 
Câu 4. (5 điểm)
	Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. M là điểm nằm trong tam giác. Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, BC, AC.
Chứng minh rằng khi M thay đổi, tổng MN + MP + MQ có giá trị không đổi
Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Câu 5. (3 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Điểm M bất kì trên cạnh AC (M không trùng với A và C ). Kẻ tia Ax vuông góc với BM, tia Ax cắt BC tại H. Gọi K là điểm đối xứng của C qua H. Kẻ tia Ky vuông góc BM , tia Ky cắt AB tại I.
	Chứng minh rằng: Khi M di chuyển trên cạnh AC ta luôn có không đổi.
Câu 6. (1 điểm)
Cho a, b là hai số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 	
 ==== hết ===
1a) 
Ta có :
 ( Vì 5 là số nguyên tố) 
- Ta có: (đpcm)
Câu 2. (3 điểm)
	Cho biểu thức P = 	
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với giá trị nào của x thì P có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
a) 
b) 
Do với mọi x
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 . Vậy min P = - 2 khi x = 0
Câu 5. (1,5 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Điểm M bất kì trên cạnh AC (M không trùng với A và C ). Kẻ tia Ax vuông góc với BM, tia Ax cắt BC tại H. Gọi K là điểm đối xứng của C qua H. Kẻ tia Ky vuông góc BM , tia Ky cắt AB tại I.
	Chứng minh rằng: Khi M di chuyển trên cạnh AC ta luôn có không đổi.
GIẢI: Dựng điểm F đối xứng với I qua A. Nối CF.
Ta có: KI // AH (cung vuông góc BM)
Suy ra: 
Mà IK BM nên BK CF. Do đó: 
(cùng phụ )
Xét ABM và ACF có:
 ; AB = AC ; 
Nên ABM =ACF (gcg)
Suy ra AF = AM, do AF = AI nên AM = AI
Vậy AIM vuông cân tại A
Do đó 
Câu 6. (1 điểm)
Cho a, b là hai số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Ta có bđt 
Suy ra 
Mà nên 
+ 
Do đó: 
Câu 1. (4 điểm)
a)Giải phương trình: 
Áp dụng bất đẳng thức , xảy ra dấu đẳng thức cho vế trái của PT ta có: 
= VP
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Nghiệm của PT là: ; 
b)Tính giá trị biểu thức tại 
Giải: Đặt 
Ta có: 
Suy ra . Do đó: 
Câu 2. (4 điểm)
Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by. Chứng minh rằng:
Giải:
+ Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz
 (1)
+ y + z = 2ax + by + cz => y + z – x = 2ax 
 (2)
+ z + x = 2by + ax + cz = 2by + y => z + x – y = 2by 
 (3)
+ Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được 
b) Chứng minh rằng với a, b, c > 0 và abc = 1.
Ta có: 
 (bđt đúng)
 Dấu bằng xảy ra khi a = b
Ta có 
Vậy 
Tương tự 
; 
Cộng vế theo vế => đpcm
Câu 3. (3 điểm)
	a)Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức chia hết cho 6. 
Giải: + Vì n không chia hết cho 2 và 3 nên n = 6k + 1 hoặc n = 6k – 1 (Với k thuộc Z)
 + Nếu n = 6k + 1 thì 
 + Nếu n = 6k – 1 thì 
 + Vậy ..
b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n.
Ta có: 60 = 3. 4. 5 
+ 
+ Ta có 
+ Nếu n chẳn thì n2 chia hết cho 4 
 n lẻ thi n – 1 và n + 1 là các số chẵn 
+ n2 chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9
+ Nếu n2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì 
 n2 có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 thì 
 n2 có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 thì 
 Suy ra 
+ Vì 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên B chia hết cho 60
Câu 4. (5 điểm)
Câu 5. (3 điểm)
Câu 6. (2 điểm) 
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn . Chứng minh 
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi ; 
 === hết===
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm tam giác. Đường thẳng vuông góc BC tại C cắt tia BH tại D. Đường thẳng vuông góc BC tại B cắt tia CH tại E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE, CD. 
Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
Trung tuyến AI của tam giác ABC cắt MN tại P. Chứng minh BC2 = 4AI. IP	
a) + BE // CD (sl trong) => HBE HDC (g.g)
=> 
+ HEM và HCN có: HEM HCN (c.g.c)
Do đó: .
mà M, H, E thẳng hàng
Cho a, b là hai số thực bất kì thỏa mãn . Tính 
giá trị biểu thức 
Giải 
 (1)
Mặt khác từ giả thiết 
 (2)
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được