Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 13 (Có đáp án)

ĐỀ ÔN TẬP SỐ 13.
Câu 1. 
Giải hệ phương trình: 
Cho phương trình ( m là tham số). Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại.
Câu 2. Cho phương trình: (x là ẩn số). 
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.
Câu 3. Cho mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Nếu giảm chiều dài 2 lần tăng chiều rộng lên 3 lần thì chu vi không đổi. Tính diện tích mảnh đất
Câu 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O).Các đường cao BF,CK của tam giác ABC lần lượt cắt (O) tại D, E.
Chứng minh : Tứ giác BCFK là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh : DE //FK.
Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với B,C qua O.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AFK có bán kính không đổi khi A thay đổi trên cung nhỏ (không trùng với các điểm P,Q)
Câu 5.
 Cho a, b, c >1. Chứng minh rằng 
HƯỚNG DẪN GIẢI.
BÀI
NỘI DUNG
1
a)
b)
Thay x = 3 vào phương trình (1) ta được:
Thay m = -6 vào PT (1) có dạng: 
Ta có: a – b + c = 1+ 2 – 3 = 0 
PT có hai nghiệm : x1 = -1; x2 = 3 
Vậy nghiệm còn lại là x = -1
2
a)
 (1)
Do hệ số a của phương trình bằng 1 khác 0 nên phương trình(1) là phương trình bậc hai một ẩn.
Lại có: 
Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) áp dụng hệ thức vi-ét ta có: và . 
Để hai nghiệm của phương trình là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 ta cần tìm m sao cho : 
+)
. Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
  ; . 
 Kết hợp với (*) suy ra m = 2
Vậy với m = 2 thì phương trình có hai nghiệm là hai cạnh của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 5.
3
Gọi chiều rộng, chiều dài của thửa ruộng tương ứng là x(m), y(m). Điều kiện x > 0, y > 0; 
Vì chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m nên y - x = 45 (1).
Chiều dài giảm 2 lần, chiều rộng tăng 3 lần ta được hình chữ nhật có hai chiều dài và chiều rộng là (m) và 3x(m).
Theo giả thiết chu vi không thay đổi nên: 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình .
 Giải hệ này ta có 
Vậy diện tích của thửa ruộng là: 
4
Hình vẽ
a)
Do . 
Tứ giác BKFC có hai góc cùng nhìn cạnh BC dưới góc 900 nên nội tiếp đường tròn đường kính BC
b)
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK của đường tròn (BKFC)) (1)
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE của đường tròn (O) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
mà chúng ở vị trí đồng vị nên KF // ED
c)
Kẻ đường kính AN và lấy điểm M là trung điểm BC
Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
NCAC và BN AB mà BH AC và CH AB 
NC // BH và NB // CH => BHNC là hình bình hành 
M là trung điểm BC cũng là trung điểm HN.
 Lại có O là trung điểm AN
 Suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHN 
 => và OM // AH
 Gọi I là trung điểm AH. 	Ta có => t/g AKHF nội tiếp đường tròn đường kính AH
I là tâm và AI là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKHF hay của AFK
Vì BC, (O) cố định suy ra M cố định => OM không đổi => ( không đổi) suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AFK có bán kính AI = OM không đổi.
5
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 
 (1)
Ta lại có với mọi x > 1, ta có :
ÁP dụng nhận xét trên ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Đẳng thức xảy ra khI a=b=c=4