Đề ôn tập môn Toán Khối 9 - Đề 8 (Có đáp án)

ĐỀ ÔN TẬP SỐ 8.
Bài 1.
Giải hệ phương trình: .
Giải phương trình :
Bài 2.
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: .
Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhát của biểu thức: 
Bài 3. Cho hình thoi ABCD có . Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BD,BA lần lượt tại J, L. Trên đường thẳng LJ lấy điểm K sao cho BK song song ID.
Chứng minh rằng .
Chứng minh rằng .
Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I, L cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4. Tìm tập hợp số nguyên dương n sao cho tồn tại một cách sắp xếp các số 1, 2, ,3,.., n thành mà khi chia các số cho n ta được các số dư đôi một khác nhau
HƯỚNG DẪN GIẢI.
BÀI
NỘI DUNG
1
Từ phương trình (1) suy ra ra: xy=x2+y2-1 (3) thay vào (2) ta được
từ (4) ta có x=y Thay vào 1 ta có:
từ (5) ta có:
với x=y=0 thay vào (1) ta có : 0+0-0=1 (vô lí)
 suy ra x=y=0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
 Vậy hệ phương trình đã cho có S=
2
a)
ĐKXĐ: 
đặt: 
Khi đó (*) trở thành: (1)
 mặt khác ta có (2)
 Xét với b=0 ta có 
 Xét với Từ (2) ta có: (3)
 Từ (1) Và (3) suy ra : 
 Khi đó từ (2) suy ra: 2a2=2 suy ra a=1 ( vì a)
 Do đó a=b=1
vậy phương trình có nghiệm x=0
b)
Chứng minh bổ đề: Nếu số nguyên tố p có dạng: 4n+3 thì 
Ta có:
Áp dụng bổ đề trên ta có  19 là số nguyên tố và19= 4.4+3 nên suy ra :	
điều này không xảy ra vì 4617 không chia hết cho192
vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
Vậy: Max M=1 khi a=b=1
3
Hình vẽ
a)
Ta có mà 
Vậy 
b)
Gọi G là giao điểm của CJ và BK
 ta có (Đối đỉnh)
 và (Cùng phụ với )
Mà 
Suy ra tứ giác BCKJ nội tiếp suy ra ( vì ABCD là hình thoi nên hay góc BJC vuông) suy ra 
c)
Vì tam giác IJL cân tại I ( J,L Thuộc đường tròn (I)) nên mà (Theo b) và ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung JK) suy ra 
hay suy ra tứ giác IKCL nội tiếp suy ra 4 điểm C, K, I, L cùng nằm trên một đường tròn.
4
Trước hết ta đi chứng minh bổ đề sau: Với n là hợp số và n>4 thì (n-1)! n
 Thật vậy ta có: Với n là hợp số và n>4 thì n=a.b với a,b là các số nguyên khác 1 và n. suy ra suy ra n-1)! n
từ giả thiết ta có an phải bằng n vì nếu ann; ai=n (i thì
 điều này trái với đề bài cho.
Do đó an=n
 nếu n là một số lớn hơn 4và n là hợp số . theo bổ đề trên ta có a1a2...an-1=(n-1)! n
mà a1a2...an n do đó hai số này chia cho n có cùng số dư là 0 điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Như vậy suy ra n=4( vì n là hợp số)
 Xét với n =4 thì tồn tại dãy số: 1;3;2;4 có 1; 1.3; 1.3.2;1.3.2.4 khi chia cho 4 có số dư lần lượt là 1;3;2;0 thoả mãn đề bài.
 vậy n=4