Đề ôn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

Bài 4 (3đ): Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D ẻ BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng.
c) AE.AC = AF.AB = AD2
Bài 4:
a) (0,25)
 (0,25)
F
E
A
B
C
D
mà (0,25)	
ị EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (0,25)
b) AD là phân giác góc BAC nên 
sđsđ() = sđ = sđ
do đó và 
ị DDAE ~ DADC (g.g)	(0,5)
Tương tự:
sđ 
	= 
	ị 
do đó DAFD ~ đAB (g.g)	(0,5)
c) Theo trên: 
+ DAED ~ DADB
ị hay AD2 = AE.AC (1)	(0,5)
+ DADF ~ DABD ị 
ị AD2 = AB.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF	(0,5)
Câu 3: (2,5đ)
	Cho biểu thức
	A = với x > 0 và x ạ 1
a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 3
a) * ĐKXĐ: x > 0 và x ạ 1	(0.5đ)	
* Ta có: 	 A = 
	 	 = 	(0.5đ)
	 = 	(0.5đ)
	 = 	(0.5đ)
	 = = 	(0.75đ)
	 = 	(0.5đ)
b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 	(0.25)
 	 => x = 2/3 	(0,5đ)
Bài 2(1,5 điểm). Cho biểu thức :
 .
Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3(1,5 điểm). Giải hệ phương trình : 
Bài 2.(1,5 điểm) Ta có : 
 (0,25đ)
 (0,25đ)
 (0,25đ)
Do và (0,25đ)
 (0,25đ).
 (0,25đ).
 Bài 3.(1,5điểm) Đặt : (0,25đ).
Ta có : u ; v là nghiệm của phương trình :
 (0,25đ).
 ; (0,25đ).
 ; (0,25đ).
Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là : 
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. (0,25đ).
Bài 5(1,5 điểm).Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng :
Bài 5 (1,5 điểm) Ta có : a , b > 0 (0,25đ)
 (0,25đ)
 a , b > 0
 (0,25đ)
Mặt khác (0,25đ)
Nhân từng vế ta có : (0,25đ)
 (0,25đ)
Cõu 2: (5,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d): và 
(d') : cắt nhau tại C và lần lượt cắt trục Ox tại A, B. 
a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. 
b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm. 
ã C là giao điểm của d và d/ nên tọa độ của C thỏa mãn hệ : 
 Û Û Vậy C(1 ; 3) 	1đ
ã Phương trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ : 
 Û Vậy A(- 1; 0) 	0.5
tọa độ B thỏa mãn hệ : 
 Û Vậy B(3 ; 0)	0.5
ã Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đường cao của tam giác CAB và CH = 3 cm ( tung độ của điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = 1 + 3 = 4 (cm) .
 ị dt(DABC) = AB.CH = .4.3 = 6 (cm2) 1.5đ 
ã HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm) ị HB = AB - AH = 2 (cm)
ị HA = HB = 2(cm) ị tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có : 
 (cm)
ị chu vi DABC là : AB + BC + CA = (cm)	1.5đ