Đề luyện tập môn Toán 12

 1 
www.tanbachkhoa.edu.vn 
Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh 
Thời gian làm bài: 90phút 
Đề luyện tập số 1. 
Câu 1. Tìm khai triển Taylor của 2( , ) x yf x y
x y
+
=
+
 tại điểm (2,1) đến cấp 3. 
Câu 2. Tìm cực trị của hàm 2 2 12 3z x y xy x y= + + − − . 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑
∞
=1n n
n
v
u
với un= 
n
n






+ 2
12 và vn= 
2
21
n
n






+ 
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 
1 2
1
( 1)
4 (3 1)
n n
n
n
x
n
−∞
=
−
−
∑ 
Câu 5. Tính tích phân kép 
2 2
1
D
I dxdy
x y
= ∫∫
+
, trong đó D là miền phẳng giới 
hạn bởi 2 22 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥ , 
Câu 6. Tính tích phân ( ) ( )2 2cosx
C
I e xy dx y y x dy= + + +∫ với C là chu vi tam giác ABC, 
A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. 
Câu 7. Tính ( )= + + +∫

C
I ydx z x dy xdz , với C là giao của 2 2 1+ =x y và 1z y= + , chiều kim đồng 
hồ theo hướng dương trục 0z. 
Câu 8. Tính tích phân mặt loại một ( )2 2= +∫∫
S
I x y dS , trong đó S là phần mặt nón 2 2 2z x y= + , 
nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1z z= = . 
Đề luyện tập số 2. 
Câu 1. Cho hàm
2( , ) xyf x y xe= . Tính 2 (2,1)d f . 
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 
2 22 2 1( , ) ( ) x yf x y y x e − += − trên miền 2 2{( , ) | 4}D x y x y= + ≤ 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ 
)2(
2 2
1 +∞
=
∑ 





+
−
nn
n n
n
 b/ 1
1
3.)2...(6.4.2
)12...(5.3.1 +∞
=
∑
− n
n n
n
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 31
( 1) ( 3)
2 ln
n n
n
x
n n
∞
=
− −
∑
+
Câu 5. Tính tích phân kép 
2 2x y
D
I e dxdy− −= ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn 
bởi 2 21 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤ , 
Câu 6. Tính tích phân ( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −∫ , với C là phần đường cong siny x x= + , từ 
(0,0)A đến ( , )B pi pi . 
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2z R x y= − − nằm trong hình trụ 2 2x y Rx+ = . 
 2 
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3= + +∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi 
2 2 2 2 24,+ + ≤ ≥ +x y z z x y , phía trong. 
Đề luyện tập số 3. 
Câu 1. Cho hàm ( , ) (2 )ln xf x y x y
y
= + . Tính 2 (1,1)d f 
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + 
x
3
 +
y
9
 với x > 0, y > 0 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!n
n
n
∞
=
⋅ ⋅ −
∑
−
⋯
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 
1
!( 4)n
n
n
n x
n
∞
=
−
∑ 
Câu 5. Tính tích phân kép ( 2)
D
I x dxdy= +∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn 
bởi 
2 2
1, 0
9 4
x y y+ ≤ ≥ 
Câu 6. Tính tích phân ( ) ( )2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +∫
 , trong đó C là biên của miền phẳng giới 
hạn bởi 22 ,y x y x= − = − , chiều kim đồng hồ. 
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2z x y= + nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z+ + = . 
Câu 8. Tính 2= ∫∫
S
I xdS , với S là phần mặt trụ 2 2 4+ =x y nằm giữa hai mặt phẳng 1, 4z z= = . 
Đề luyện tập số 4. 
Câu 1. Cho hàm 2 2( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + − . Tính 2 (0,0)d f 
Câu 2. Tìm cực trị của hàm 3 212 8 .z x y x y= + − 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 
1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)n
n
n
∞
=
⋅ ⋅ −
∑
⋅ ⋅ −
⋯
⋯
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 31
( 1) ( 1)
2 ( 1)ln( 1)
n n
n
n
x
n n
∞
=
− +
∑
+ +
Câu 5. Tính tích phân )2222 ln(. yxyx
D
++∫∫ dxdy với D là miền 1 ≤ x
2+y2 ≤ e2 
Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức 
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích 
phân [ ]∫ +
L
dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( trong đó L là đường cong có phương trình: 4x2+9y2=36, chiều 
ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2). 
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 2z x y+ + = nằm trong hình paraboloid 2 2z x y= + . 
Câu 8. Tính 2 2 2= + +∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu 2 2 2 2+ + =x y z z , phía trên. 
Đề luyện tập số 5. 
 3 
Câu 1. Tính 
2 f
x y
∂
∂ ∂
, với 
3( ) sin ;
2
 = = +

= +
x
f f u u u
u xy e
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 2 2( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + = 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 
3
3
1
22
1
n
n
n
n
n
∞
=
 
+∑  
− 
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: 
)1ln()1(
)5(2)1( 11
1 ++
−−
++∞
=
∑
nn
x nnn
n
Câu 5. Tính tích phân ( )dxdyyxarctg
D
∫∫ +
22
 với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3 
Câu 6. Chứng tỏ tích phân [ ](1 ) (1 )x y
C
I e x y dx x y dy−= + + + − −∫ không phụ thuộc đường đi. 
Tính tích phân I với C là phần ellipse 
2 2
1
9 4
x y
+ = từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. 
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi 22 , 1, 0, 3y x y z z x= − = = = , lấy phần 0.z ≥ 
Câu 8. Tính ( ) 22 3= + + +∫∫
S
I xdydz y z dxdz z dxdy , với S là phần mặt phẳng 4+ + =x y z nằm trong 
hình trụ 2 2 2x y y+ = , phía trên. 
Đề luyện tập số 6. 
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 323 yxe . Tính dz(1,1) và )1,1(
2
yx
z
∂∂
∂
Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 
2
1
1 4 9
(4 3)!!n
n
n
∞
=
⋅ ⋅
∑
−
⋯
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n
n
n
nn
x
n
)1(
1.4
3.)1(
0
32
1
−
+
−
∑
∞
=
+
+
Câu 5. Tính tích phân kép 2 24
D
I x y dxdy= − −∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
2 2 1,x y y x+ = ≤ . 
Câu 6. Tính tích phân 2 2( ) ( )
C
I x y x y dx y x xy dy= + − + − −∫ , với C là nửa bên phải của đường 
tròn 2 2 4 ,x y y+ = chiều kim đồng hồ. 
Câu 7. Tính tích phân đường loại một 2 2= +∫∫
C
I x y dl , với C là nửa trên đường tròn 2 2 2+ =x y y . 
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính ( ) (2 )= + + − +∫

C
I x y dx x z dy ydz , với C là giao của 
2 2 2 4+ + =x y z và 0x y z+ + = , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. 
Đề luyện tập số 7. 
Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( )1,2 và 2
2
x
z
∂
∂ ( )1,2 
 4 
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2( , ) 1 4 8 ; 8 8f x y x y x y= − − − = . 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 
1
2 !n
n
n
n
n
∞
=
∑ 
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ( )( )∑
∞
=
+ +
++
0 62 1.5
12
n
n
n
n
xn
Câu 5. Tính tích phân ∫∫
++0 223 yx
dxdy
 với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2= 
1(x, y ≥ 0), x2+y2=33 (x, y 0≥ ), y=x, y = x 3 . 
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e xα cosy, Q(x,y)= 2xexy- e xα siny trong đó α là hằng số. Tìm α để 
biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với α vừa tìm được, tính tích phân 
đường dyxyxQdxyyx ]),([]),[( 33 ++−∫
γ
trong đó ( )γ là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương 
(ngược chiều kim đồng hồ). 
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một 2= ∫∫
S
I x dS , với S là nửa trên mặt 2 2 2 4+ + =x y z 
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính 2 2 2(3 ) (3 ) (3 )= − + − + −∫

C
I x y dx y z dy z x dz , với C là giao của 
2 2
= +z x y và 2 2z y= − , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. 
Đề luyện tập số 8. 
Câu 1. Tìm ' ',x yz z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 3 2 lnx y yz z+ + = 
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2( , ) 4f x y x y x y= + + + trên miền {( , ) | | | 1,| | 1}D x y x y= ≤ ≤ 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/ 
)1(
2 12
2 −∞
=
∑ 



+
nn
n n
n
 b/ 2
1
2
5.
!)12...(5.3.1
...9.4.1 +∞
=
∑
−
n
n nn
n
Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 
1 4 23
1
( 1) ( 2)
3 1
n n
n
n
x
n n
∞
+
=
− −
+ +
∑ 
Câu 5. Tính tích phân kép ∫∫ −−
D
yx 229 dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường 
tròn x2 + y2 = 9, y 0≥ và các đường thẳng y = x, y = -x 
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e-y, ( , ) (1 ) yQ x y x y e−= − − . Tìm hàm h(x) để biểu thức 
h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích 
phân [ ]∫ +
L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( trong đó L là nữa đường tròn x2 + y2 = 9 nằm bên phải trục 
tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3). 
Câu 7. Tính 2= ∫∫∫
V
I zdxdydz , với V giới hạn bởi 2 2 2 2+ + ≤x y z z và 2 2 1+ + =z x y . 
Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( )( 2 ) 2 2= + + + + +∫∫
S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt 
paraboloid 2 2= +z x y , bị cắt bởi 2 2z x= − , phía dưới. 
Đề luyện tập số 9. 
 5 
Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của 
2 2
1
, if ( , ) (0,0)( , )
3, if ( , ) (0,0)
x ye x yf x y
x y
−
+

 ≠= 

− =
Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của ( )∑
∞
=
+
1n
nn vu với 
)14(
14
14 +






+
−
=
nn
n
n
n
u , 
!).13...(10.7.4
).2...(6.4.2
nn
nn
v
n
n +
= 
Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑
∞
=
+ +
+
0 4 32 1.4
)3(
n
n
n
n
x
Câu 5. Tính J= ∫∫
D
dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các 
đường thẳng y = x, y = 0. 
Câu 6. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi 
I= ][ dxyxydyyxxyxh
AB
)()()( 222222 +−+−∫ với AB là cung không cắt đường x2 = y2. 
Câu 7. Tính ( )
V
I x yz dxdydz= +∫∫∫ , với V giới hạn bởi 2 2z x y= + và 2 2 2z x y+ + = . 
Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( )2 3 2 4= + + + +∫∫
S
I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt 
paraboloid 2 2 2 2+ + =x y z x , phần 0z ≤ , phía dưới. 
Đề luyện tập số 10. 
Câu 1. Tính // (0,0)xyf 2 2
, if ( , ) (0,0)( , )
0, if ( , ) (0,0)
 ≠
= +

=
xy
x yf x y x y
x y
Câu 2. Tìm cực trị của hàm 4 4 2 2 2 , 0.z x y x y xy x= + − − − ≠ 
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 
2
1
1
2 1
n
n
n
n
∞
=
+ 
∑  + 
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 
1
( 4)
2
n
n
x
n n
∞
=
−
∑
+
Câu 5. Tính tích phân kép ( | |)
D
I x y dxdy= +∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới 
hạn bởi 2 2 4, 0x y x+ ≤ ≥ 
Câu 6. Tính tích phân 
(2,3)
22 2 2 2
(1,1)
1x y yI dx dy
x xx y x y
   
= − + +   
   + +   
∫ , theo đường cong C 
không qua gốc O và không cắt trục tung. 
Câu 7. 2 2 2
1
V
I dxdydz
x y z
= ∫∫∫
+ +
, với V được giới hạn bởi 2 2 2 4+ + ≤x y z và 2 2≥ +z x y 
Câu 8. Tính tích phân mặt ( ) ( ) ( )
S
I x z dydz y x dxdz z y dxdy= + + + + +∫∫ , với S là phần mặt 
paraboloid 2 2z x y= + nằm dưới mặt 2x z+ = , phía trên.