Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 8 môn Toán - Trường Lê Quý Đôn - Quận 3 (2013-2014)

CƠNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Đề Kiểm Tra, HSG LỚP 8 Trường Lê Quý Đôn, Q.3 (2013-2014) Trang 1 
TRƯỜNG LÊ QUÝ ĐÔN - QUẬN 3 (2013-2014) 
(Thi ngày: ngày 29/3/2014) 
Thời gian: 120 Phút 
Bài 1: 
a) Chứng minh: 3 3 3a b c 3abc   với a b c 0   
b) Cho 
1 1 1
abc 1; a b c
a b c
      . Tính    29 3 2014a 1 b 1 c 1   
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) 
 
2
1 4
xy
x y


b) 
 
2 2 2
1 1 6
xyx y x y
 
 
Bài 4: 
Cho ABC vuông tại A có AH là đường cao. BQ là tia phân giác của góc B; AD là tia phân giác 
của HAC. BQ cắt AD tại K. CK cắt AB tại L. 
a) Chứng minh: DAQ là tam giác cân. 
b) Chứng minh: 
DB LB QA
1
DC LA QC
   
Bài 5: 
Cho ABC có AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH. Tính AH. 
 
HẾT 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
CƠNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Đề Kiểm Tra, HSG LỚP 8 Lê Quý Đôn, Quận 3 (2013-2014) Trang 2 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1: 
a) Chứng minh: 3 3 3a b c 3abc   với a b c 0   
Ta có: a b c 0 a b c       
Do đó:      
3
3 3 3 3 3 3
a b c a b 3ab a b c c 3ab c c 3abc             : đpcm 
b) Cho 
1 1 1
abc 1;a b c
a b c
      . Tính    29 3 2014a 1 b 1 c 1   
Ta có:  
1 1 1
a b c a b c ab bc ca vì abc = 1
a b c
          
 a b c ab bc ca 0 abca b c ab bc ca 1 0 vì abc = 1              
          ab c 1 a c 1 b c 1 c 1 0 c 1 ab a b 1 0               
   
a 1
a 1 b 1 c 1 0 b 1
c 1
 

      
 
Do đó:    29 3 2014a 1 b 1 c 1 0    
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y > 0: 
a) 
 
2
1 4
xy
x y


 2 2x 2xy y 4xy vì x, y > 0 nên x + y > 0 và xy > 0    
 
2
x y 0 : luôn đúng   
Vậy BĐT đã được chứng minh. 
b) 
 
2 2 2
1 1 6
xyx y x y
 
 
Áp dụng BĐT câu a) và  
1 1 4
a,b 0
a b a b
   

, ta được: 
     
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 4 6
:đpcm
xy 2xy 2xyx y x y x y 2 x y x y
      
    
Bài 3: 
Bài 4: 
Cho ABC vuông tại A có AH là đường cao. BQ là tia phân giác của góc B; AD là tia phân giác 
của HAC. BQ cắt AD tại K. CK cắt AB tại L. 
CƠNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Đề Kiểm Tra, HSG LỚP 8 Lê Quý Đôn, Quận 3 (2013-2014) Trang 3 
T S
L
K
E
D
Q
H
A
B C
a) Chứng minh: DAQ là tam giác cân. 
Gọi E là giao điểm của AH và BQ. 
Chứng minh được: AEQ cân tại A AD là đường phân giác cũng là đường cao. 
Do đó: E là trực tâm của ABD . DE AB  mà AC AB nên AC // DE. 
 QDA DAE 2 góc so le trong  
mà  DAE DAQ ... nên QDA DAQ DAQ cân tại Q  
b) Chứng minh: 
DC LB QA
1
DB LA QC
   
Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BQ tại S, cắt CK tại T. 
Ta có: 
 
 
 
DB DK
BD // AS
DB DC DC ATAS AK
 1
AS AT DB ASDC DK
DC // AT
AT AK


   
 

Ta có:    
LB BC
BC // TA 2
LA AT

Ta có:    
QA AS
AS // BC 3
QC BC

Từ (1), (2). và (3) ta suy ra 
DC LB QA
1
DB LA QC
   
Bài 5: 
Cho ABC có AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH. Tính AH. 
CƠNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
Đề Kiểm Tra, HSG LỚP 8 Lê Quý Đôn, Quận 3 (2013-2014) Trang 4 
15 - xx
H
A
B C
Tính AH. 
Ta có: BC là cạnh lớn nhất của ABC nên A là góc lớn nhất trong 
ABC điểm nằm giữa B và C 
Đặt BH = x (x > 0) CH 15 x   
Áp dụng định lý Pytago, ta có: 
 
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
AH AB BH 13 x
AH AC CH 14 15 x
    

    
2 2
169 x 196 225 30x x      
33
30x 198 x
5
    
2
2
33 3136
AH 196
5 25
 
    
 
56
x
5
  
Vậy 
56
AH cm
5
 
 
HẾT