Đề kiểm tra chọn học sinh dự thi học sinh giỏi Toán khối 9 năm học: 2016 - 2017

 ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 .
 Năm học : 2016-2017 : Thời gian 120’ .
 Bài số 9:
 Câu1 : Cho Biểu Thức : P = 
 a, Tìm giá trị của x để P xác định , Rút gọn P .
 b, Với giá trị nào của x thì : P < -1.
 c ,Tìm giá trị của x nguyên để P có giá trị nguyên .
 d ,Tìm những giá trị của x để P đạt Max . 
 Câu 2 : Giải phương trình :
 a. 
 b. 
 Câu 3 : Rút gọn Biểu Thức : N =
 Câu 4 : Tìm gía tri nhỏ nhất ( min) , lớn nhất (max )của biẻu thức Q :
 Q = biết 
 Câu 5 : a . Chứng minh rằng : khi 0 a 1
 b . Tìm giá Trị Max , Min của biểu thức :
 K = 
 Câu 6 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt đường tròn (M) tại I và K (A và I thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ là OM).Chứng minh rằng:
MB là tia phân giác của góc HMK
BK là tiếp tuyến của đường tròn (M).
Gọi E là giao điểm của IK và AB. Chứng minh rằng khi M di động trên nửa đường tròn thì tích OH. OE không đổi.
Tìm vị trí của điểm M để tứ giác AIKB có diện tích lớn nhất.
 Hướng Dẫn Giải và Đáp án :_Đề số 9 
 Câu 1 : a, Điều kiện xác định : ( 0,5đ)
 (*) Rút gọn P ta có : ( 1,đ )
 b, Tìm x để P < -1 . ( 1đ)
 (*) Giải BPTrình ta có : P < -1 ó <-1 ó < ó < 1
 	< 1 /2 ó x < 1 /4
 Kết hợp với điều kiện ta có : (0 < 1 /4 )	, thì P < - 1 .
 c , Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên . ( 1đ )
 Biến đổi P Ta có : P = 1 - Z ó Z ó 3 : ( ) hay 
 ()Ư(3) giải ra ta có : x = { 0 } thuộc Z thì P có giá trị nguyên .
 d , Tìm x để : H= .P có giá trị lớn nhất . (0,5đ )
 H = . = đạt Max đạt Min ó x =0 .
 Vậy : H (Max) = 3 / 2 ó x = 0 .
 Câu 2 : Giải phương Trình : (1đ)
 a , . Điều kiện : và 
 ó 
 (*) Ta thấy x=1 Thỏa mãn điều kiện bài toán . Vậy PT có nghiệm x = 1 .
 (1đ) b , ó
 (1 )
 Điều kiện của Pt : 2x – 5 0 ó x .
 Đật ẩn phụ : 
 ( 1) ó (2)
 (*) Nếu : y –1 0 ó y 1 thì (2) Trở thành : y + 3 +y –1 =4 ó y = 1 (thỏa mãn đk)
 (*) Nếu : y – 1 < 0 ó ( 0 y < 1 )thì (2) Trở thành :y + 3 – y + 1 =4 ó oy = 0 
( 0 y <1 ) Kết hợp cả 2 trường hợp Ta có : ( 0 y 1 ) .
Thay : ó 0 1 ó ( thỏa mãn đk )
Câu 3: ( 1đ ) Rút gọn : 
 N = 
 N = 
Câu 4: Tìm Max , Min Của biểu thức . (1,5đ)
 Giải : ĐKXĐ: x,y 0 .
 (*) Tìm MAX : Đặt : a = 0 ; b =0 => a +b = 1
 A = , vì a , b 
 => A =1 – 3ab , Vậy : max A = 1 ó x = 0 ; y = 1 hoặc x = 1 ; y = 0 .
 (*) Tìm Min A : 
 Ta có ( BĐT Cô sy ) Mà : a+b =1 = 
 Câu 5 : (1,5đ)
 a. Chứng minh rằng : ; ( khi )
 Giải : Ta chứng minh : Biến đổi vế trái ta có :
 (Theo BĐT Bu nhi –a cốp xky) . 
 Vậy : Đẳng thức đúng /
 b. Tìm Max , min của k :
 (*) Tìm max k : K =
 Giải : Điều kiện : Theo BĐT Bu –nhi-a cốp xky ta có 
 (*) Tìm Min Biểu thức K :
 Ta có :
 Câu 6:
Vẽ hình đúng (0, 5đ)
 I
K
H
O
B
A
M
a) Ta có OM IK( t/c tiếp tuyến của đường tròn)
=> =900 (1) (0, 25đ)
Ta lại có MH AB (GT) => = 900 (2) (0, 25đ)
Từ (1) và (2) => = (0, 25đ)
Mặt khác ta có: = (T/C tam giác cân) (0, 25đ) 
Từ đó suy ra ==> MB là tia phân giác của góc HMK (0, 5đ)
b) Chứng minh được = (0, 5đ)
=> == 900 => BK là tiếp tuyến của đường tròn (M) (0, 25đ)
c) Xét tam giác OME vuông tại M ta có: OH.OE = OM2 = R không đổi 
Vậy tích OH. OM không đổi (0, 25đ)
d) Ta có AI //BK (cùng vuông góc IK) 
=> Tứ giác AIBK là hình thang (0, 25đ)
OM là đường trung bình của hình thang của hình thang và IK AB (0, 25đ)
Ta có SAIBK = (BK + AI).IK:2 = OM.IK OM.AB =2R2 (0, 25đ)
Vậy diện tích tứ giác AIBK lớn nhất bằng 2R2 
ó IK = AB khi đó OM vuông góc AB (0, 25đ)
 Lưu ý : Bài được gửi lên theo bài kiểm tra định kỳ và sau mỗi chương, mỗi phần
 Kiến thức được học lớp 8+9 ./.