SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 Mụn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 1 y x m m x m m = - + - + - + , trong đú m là tham số. a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) với 2 m = . b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 2 y = tại ba điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là 1 2 3 , , x x x và đồng thời thỏa món đẳng thức 2 2 2 1 2 3 18 x x x + + = . Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: 2 2 4 sin cos cos 3 3 2 x x x p p + ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . Cõu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: ( ) 2 2 4 , 7 3 6 x y x y x y ỡ + + - = ù ẻ ớ + + + = ù ợ Ă Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn: ( ) 1 2 0 2014 x I x e dx = - ũ . Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp . S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B, , , 2 . AB a BC a AD a = = = Đường thẳng SA vuụng gúc với mặt phẳng ( ) ABCD , gúc giữa mặt phẳng ( ) SCD với mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 60 . Tớnh theo a thể tớch khối chúp . S ABCD và khoảng cỏch từ đỉnh B đến mặt phẳng ( ) SCD . Cõu 6 (1,0 điểm ). Tỡm cỏc số thực dương , x y thỏa món hệ phương trỡnh sau: 2 2 2 2 2 (4 1) 2 (2 1) 32 1 2 x x y y y x y x y ỡ + + + = + ù ớ + - + = ù ợ II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 2 2 0 d x y - + = và hai điểm (4;6), (0; 4) A B - . Tỡm trờn đường thẳng ( ) d điểm M sao cho vộc tơ AM BM + uuuur uuuur cú độ dài nhỏ nhất. Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1;2 A B C - - và ( ) 1; 1 ; 1 6 D m m - + . Tỡm m để bốn điểm , , , A B C D cựng thuộc một mặt phẳng. Cõu 9.a (1,0 điểm). Lấy ngẫu nhiờn lần lượt 3 chữ số khỏc nhau từ 5 chữ số {0;1;2;3; 4} và xếp thành hàng ngang từ trỏi sang phải . Tớnh xỏc suất để nhận được một số tự nhiờn cú 3 chữ số. B. Theo chương trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại đỉnh A, biết ( ) 3; 3 A - , hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2 1 0 x y - + = , điểm ( ) 3;0 E nằm trờn đường cao kẻ từ đỉnh C. Tỡm tọa độ hai đỉnh B và C. Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0; 1; 3), (3;0; 3) A B - - - và mặt cầu (S) cú phương trỡnh : 2 2 2 2 2 2 6 0 x y z x y z + + + + + - = . Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm , A B và mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn cú bỏn kớnh là 5 Cõu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 log 4 3 log 2 log 2 4 x x x - + + - - = . ưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưư Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm! www.VNMATH.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 Mụn: TOÁN; Khối D HƯỚNG DẪN CHẤM I. LƯU í CHUNG: ư Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. ư Với Cõu 5 nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. II. ĐÁP ÁN: Cõu í Nội dung trỡnh bày Điểm 1 a Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 2 m = . 1,0 Khi 2 m = hàm số (1) cú dạng 3 3 y x x = - a) Tập xỏc định D = Ă . b) Sự biến thiờn +) Chiều biến thiờn: 2 ' 3 3 y x = - , ' 0 1 y x = Û = ± . Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) ; 1 -Ơ - và ( ) 1;+ Ơ . Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ) 1;1 - . 0.25 +) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1, 2 CD x y = - = . Hàm số đạt cực tiểu tại 1, 2 CT x y = = - . +) Giới hạn: 3 3 2 2 3 3 lim lim 1 ; lim lim 1 x x x x y x y x x x đ-Ơ đ-Ơ đ+Ơ đ+Ơ ổ ử ổ ử = - = -Ơ = - = +Ơ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . 0.25 +) Bảng biến thiờn: x -Ơ 1 - 1 +Ơ / y + 0 - 0 + y 2 +Ơ -Ơ 2 - 0.25 c) Đồ thị: 3 0 3 0 0, 3 y x x x x = Û - = Û = = ± . Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại cỏc điểm ( ) ( ) ( ) 0;0 , 3;0 , 3;0 - . '' 0 6 0 0 y x x = Û = Û = ị đồ thị hàm số nhận điểm ( ) 0;0 làm điểm uốn. 0.25 b Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 2 y = tại 1.0 4 2 ư2 ư4 ư10 ư5 5 10 1 ư1 1 ư2 ư1 0 (Đỏp ỏn cú 06 trang) www.VNMATH.com ba điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là 1 2 3 , , x x x và đồng thời thỏa món đẳng thức 2 2 2 1 2 3 18 x x x + + = . Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng 2 y = : ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 0 x m m x m m x m m x m m - + - + - + = Û - + - + - = 0.25 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 3 0 2 x m x m x mx m x mx m = ộ Û - + - + = Û ờ + - + = ở Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 2 y = tại 3 điểm phõn biệt khi và chỉ khi (2) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc m ( ) 2 2 2 3 0 2 6 4 3 0 m m m m m m m ỡ + - + ạ > ộ ù Û Û ớ ờ ở ù ợ 0.25 Giả sử 1 2 3 ; , x m x x = là 2 nghiệm của (2). Khi đú theo định lớ Viet ta được: 2 3 2 3 . 3 x x m x x m + = - ỡ ớ = - + ợ Do đú ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 18 2 18 x x x m x x x x + + = Û + + - = 0.25 ( ) 2 2 2 3 2 3 18 12 0 4 m m m m m m m = ộ Û + - - + = Û + - = Û ờ = - ở . So sỏnh với điều kiện của m ta được 3 m = thỏa món. 0.25 2 Giải phương trỡnh: 2 2 4 sin cos cos 3 3 2 x x x p p + ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 1.0 Ta cú: 2 2 4 sin cos cos 3 3 2 x x x p p + ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 2 2 1 cos 2 1 cos 2 4 sin 3 3 2 2 2 x x x p p ổ ử ổ ử + + + - ỗ ữ ỗ ữ + ố ứ ố ứ Û + = 0.25 2 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 0 sin 2 2cos cos 2 0 3 3 3 x x x x x p p p ổ ử ổ ử Û - - + + + - = Û - - + = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 0.25 2 sin 2 cos 2 0 2sin sin 3 0 x x x x Û - - - = Û - - = 0.25 sin 1 3 sin ( ) 2 x x VN = - ộ ờ Û ờ = ở 2 2 x k p p Û = - + (k ẻ Z) 0.25 3 Giải hệ phương trỡnh: 2 2 4 7 3 6 x y x y ỡ + + - = ù ớ + + + = ù ợ 1,0 Điều kiện: 2 2 x y ³ - ỡ ớ ³ ợ . Ta cú: 2 2 4 7 2 3 2 10 7 3 6 7 2 3 2 2 x y x x y y x y x x y y ỡ ỡ + + - = + + + + + + - = ù ù Û ớ ớ + + + = + - + + + - - = ù ù ợ ợ 0.25 Đặt 7 2 u x x = + + + và ( ) 3 2 ; 0 v y y u v = + + - > , ta được hệ 10 5 5 2 u v u v + = ỡ ù ớ + = ù ợ 10 5 25 5 u v u uv v + = = ỡ ỡ Û Û ớ ớ = = ợ ợ 0.25 Khi đú ta cú hệ ( ) ( ) 7 2 5 1 3 2 5 2 x x y y ỡ + + + = ù ớ + + - = ù ợ 0.25 www.VNMATH.com Giải pt (1) ta được: x = 2 Giải pt(2) ta được: y = 6. Khi đú 7 2 5 2 6 3 2 5 x x x y y y ỡ + + + = = ỡ ù Û ớ ớ = + + - = ợ ù ợ Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh là: (x; y) = (2; 6) 0.25 4 Tớnh tớch phõn: ( ) 1 2 0 2014 x I x e dx = - ũ 1,0 Đặt 2 2 2014 1 2 x x du dx u x v e dv e dx = ỡ = - ỡ ù ị ớ ớ = = ợ ù ợ 0.25 ( ) 1 2 2 0 1 1 1 2014 0 2 2 x x I x e e dx ị = - - ũ 0.25 2 2 1 2013 1 1007 0 2 4 x e e = - + - 0.25 2 4029 4027 4 e - = 0.25 5 Cho hỡnh chúp . S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng ở A và B, ( ) , , 2 , AB a BC a AD a SA ABCD = = = ^ , gúc giữa mặt phẳng ( ) SCD với mặt đỏy bằng 0 60 . Tớnh theo a thể tớch khối chúp . S ABCD và khoảng cỏch từ đỉnh B đến mặt phẳng ( ) SCD . 1,0 Gọi O là trung điểm AD ta cú ABCO là hỡnh vuụng nờn ã 0 90 2 AD CO ACD = ị = 0.25 Dễ thấy: ( ) CD SAC CD SC ^ ị ^ , do đú gúc giữa (SCD) và mặt đỏy là gúc ã SCA ã 3 0 . 1 6 60 6 . . 3 2 2 S ABCD AD BC a SCA SA a V AB SA + ị = ị = ị = = 0.25 Trong ( ) mp SAC kẻ ( ) ( ) ( ) , AH SC AH SCD AH d A SCD ^ ị ^ ị = . Trong tam giỏc vuụng SAC ta cú: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 AS 2 a 6 2 AH a AH AC a = + = + ị = 0.25 Vỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 6 / / , , , 2 4 2 2 a a BO SCD d B SCD d O SCD d A SCD ị = = = = 0.25 6 Tỡm , x y dương thỏa món hệ phương trỡnh sau: 2 2 2 2 2 (4 1) 2 (2 1) 32 1 2 x x y y y x y x y ỡ + + + = + ù ớ + - + = ù ợ 1,0 O A D B C S H www.VNMATH.com 2 2 2 2 2 (4 1) 2 y (2 1) 32(1) 1 (2) 2 x x y y x y x y ỡ + + + = + ù ớ + - + = ù ợ (2) 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 x y Û - + + = . Đặt 2 2 1 1 , 1 2 2 x a y b a b - = + = ị + = 1 1 a b ỡ Ê ù ị ớ Ê ù ợ 0.25 (1) 3 2 3 2 8 14 8 4 4 30 a a a b b Û + + + - = 2 2 (4a 11 15)( 1) 2 ( 1) 0 a a b b Û + + - + - = (3) Vỡ: 2 4 11 15 0 1 0 a a a ỡ + + > ớ - Ê ợ (do 1 a Ê ) 2 (4 a 11 15)( 1) 0 a a ị + + - Ê và: 2 2 ( 1) 0 b b - Ê ( do 1 b Ê ) 0.25 ị (3) 0 1 1 0 1 b a b b a ỡ = ộ = ỡ ùờ Û Û = ớ ớ ở = ợ ù = ợ (vỡ 2 2 1 a b + = ) 0.25 + Với 1 3 1 1 2 2 0 1 1 0 2 2 x x a b y y ỡ ỡ ỡ - = = ù ù ù = ù ù ù Û Û ớ ớ ớ = ù ù ù + = = - ù ù ù ợ ợ ợ ( thỏa món) Kết luận : Hệ phương trỡnh cú nghiệm 3 1 ( ; ) ( ; ) 2 2 x y = 0.25 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 2 2 0 d x y - + = và hai điểm (4;6),B(0; 4) A - . Tỡm trờn đường thẳng ( ) d điểm M sao cho vộc tơ AM BM + uuuur uuuur cú độ dài nhỏ nhất. 1,0 0 0 ( ;2 2) ( ) M x x d + ẻ 0 0 ( 4;2 4) AM x x ị - - uuuur , 0 0 (x ;2 6) BM x + uuuur . 0.25 0 0 (2 4; 4 2) AM BM x x ị + = - + uuuur uuuur . 0.25 2 0 20 20 2 5 AM BM x + = + ³ uuuur uuuur 0.25 AM BM + uuuur uuuur nhỏ nhất 0 0 x Û = (0;2) M Û 0.25 8.a Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1;2 A B C - - và ( ) 1; 1 ; 1 6 D m m - + . Tỡm m để bốn điểm , , , A B C D cựng thuộc một mặt phẳng. 1.0 Ta cú ( ) ( ) 0; 2;4 , 1;1;3 AB AC = - = - uuur uuur 0.25 Suy ra ( ) , 10; 4; 2 n AB AC ộ ự = = - - - ở ỷ r uuur uuur . Chọn ( ) 1 5;2;1 n ur làm vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng (ABC) 0.25 ( ) :5 2 4 0 mp ABC x y z ị + + - = . Để A, B, C, D đồng phẳng thỡ ( ) D ABC ẻ 0.25 ( ) ( ) 5.1 2. 1 1 6 4 0 4 4 0 1 m m m m Û + - + + - = Û + = Û = - 0.25 9.a Lấy ngẫu nhiờn lần lượt 3 chữ số khỏc nhau từ 5 chữ số } {0;1;2;3;4 xếp thành hàng ngang từ trỏi sang phải . Tớnh xỏc suất để nhận được một số tự nhiờn cú 3 chữ số. 1,0 www.VNMATH.com { } 0;1;2;3;4 X = + Số cỏch lấy 3 chữ số khỏc nhau bất kỳ từ X và xếp chỳng thành hàng ngang từ trỏi sang phải : 3 5 60 A = ( cỏch). Khụng gian mẫu : 60 W = 0.25 + Gọi A là biến cố: “ Nhận được 1 số tự nhiờn cú 3 chữ số khỏc nhau” Giả sử số cú 3 chữ số khỏc nhau được tạo thành là: abc ( 0) a ạ . 0 a ạ nờn a cú 4 cỏch chọn b cú 4 cỏch chọn c cú 3 cỏch chọn 0.25 3.4.4 48 A ị W = = 0.25 Vậy xỏc suất cần tớnh là: 48 4 ( ) 60 5 A P A W = = = W 0.25 7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại đỉnh A, biết ( ) 3; 3 A - , hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2 1 0 x y - + = , điểm ( ) 3;0 E nằm trờn đường cao kẻ từ đỉnh C. Tỡm tọa độ hai đỉnh B và C. 1,0 Gọi I là trung điểm BC, do ( ) 2 1; I BC I m m ẻ ị - , mà A(3;ư3) ( ) 2 4; 3 AI m m ị = - + uur Do BC AI u ^ uur r , mà ( ) 2;1 BC u r ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 0 1 1;1 m m m I ị - + + = Û = ị 0.25 ( ) 2 1; , . B BC B b b b ẻ ị - ẻ Ă . Do C đối xứng với B qua I, suy ra ( ) 3 2 ; 2 C b b - - , ( ) ( ) 2 4; 3 , 2 ; 2 AB b b CE b b = - + = - uuur uuur . 0.25 Do AB CE ^ uuur uuur nờn ta được: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 4 2 3 0 2; 5 b b b b b b - + - + = Û = = - 0.25 Với ( ) ( ) 2 3;2 , 1;0 b B C = ị - . Với 3 11 3 21 13 ; , ; 5 5 5 5 5 b B C ổ ử ổ ử = - ị - - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . 0.25 8.b Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0; 1; 3), (3;0; 3) A B - - - và mặt cầu (S) cú phương trỡnh : 2 2 2 2 2 2 6 0 x y z x y z + + + + + - = . Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm , A B và mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn cú bỏn kớnh là 5 . 1,0 Mặt cầu ( ) S cú tõm ( 1; 1; 1) I - - - , bỏn kớnh 3 R = . Giả sử (P) cú vộc tơ phỏp tuyến ( ; ; ) n a b c r , 2 2 2 ( 0) a b c + + > . mp(P) đi qua A nờn phương trỡnh mặt phẳng (P) là: ( 0) ( 1) ( 3) 0 a x b y c z - + + + + = 3 0 ax by cz b c Û + + + + = ( ) : 3 3 3 0 3 B P a c b c b a ẻ - + + = Û = - 0.25 2 2 ( , ( )) 3 ( 5) 2 d I P = - = 2 2 2 3 2 a b c b c a b c - - - + + ị = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 a c a b c a c a c Û - + = + + Û - + = + 2 0 39 4 0 4 39 a a ac c a = ộ ờ Û + = Û ờ = - ở 0.25 Với 0 a = thỡ 0 b = . Ta cú phương trỡnh ( ) : 3 0 P z + = 0.25 Với 4 . 39 a c = - Chọn 39 c = thỡ 4 a = - 12 b = . Ta được phương trỡnh ( ) : 4 12 39 129 0 P x y z - - - = 0.25 www.VNMATH.com 9.b Giải phương trỡnh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 log 4 3 log 2 log 2 4 x x x - + + - - = . 1,0 Điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ] ( ) 2 2 2 3 2 4 0 2 0 ; 3 2; log 2 0 2 0 x x x x x ỡ - > ù + > ù ù Û ẻ -Ơ - ẩ +Ơ ớ + ³ ù ù - > ù ợ (*) 0.25 Biến đổi pt đó cho ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 4 log 3 log 2 4 0 log 2 3 log 2 4 0 2 x x x x x - + + - = Û + + + - = - (3) 0.25 Đặt ( ) ( ) 2 3 log 2 0 t x t = + ³ thỡ pt (3) trở thành ( ) 2 1 3 4 0 4 t t t t loai = ộ + - = Û ờ = - ở ( ) ( ) 2 2 3 2 3 ( ) 1 log 2 1 2 3 2 3 x loai t x x x ộ = - + = Û + = Û + = Û ờ = - - ờ ở 0.25 Vậy nghiệm của phương trỡnh là 2 3 x = - - . 0.25 ưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưư www.VNMATH.com
Tài liệu đính kèm: