Đề kiểm định chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2014 - Phòng GD & ĐT Triệu Sơn (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
Đề chính thức
 Số báo danh
.....................................
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Năm học 2014 - 2015
Môn: Toán 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 14 tháng 4 năm 2015
(Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1: (4,0 điểm) 
 1. Thực hiện phép tính: 
2. Cho và . Tính 
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Tìm x, y biết: và .
	 2. Tìm x biết: 
Câu 3: (5,0 điểm)
	1. Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất.
 2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p(x) 5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
3. Gọi a, b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
Câu 4: (5,0 điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I. 
 1. Chứng minh DM = EN.
 2. Chứng minh IM = IN, BC < MN.
 3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. 
 Chứng minh rằng . Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (2,0 điểm) 
 Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: 
 Hãy tính giá trị của biểu thức: 
---------------- Hết ---------------
Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
Hướng dẫn chấm
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2014 - 2015
Môn: Toán 
Ngày 14 tháng 4 năm 2015
(Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu)
Câu
Nội dung
Điểm
1
(4,0đ)
1. 
2,0
2. Ta có: 
Suy ra: 
Do đó, ta có: 
Vậy 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
2
(4,0đ)
1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được:
Suy ra: 
Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 
Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 
0,75
0,25
0,5
0,5
2. Từ suy ra x – 3 và x + cùng dấu.
Dễ thấy x – 3 < x + nên ta có:
x – 3 và x + cùng dương x – 3 > 0 x > 3.
x – 3 và x + cùng âm x + < 0 x < -. 
 Vậy x > 3 hoặc x < - .
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
3
(5,0đ)
1. Ta có: 
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Từ đó suy ra: 
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi 
0,75
0,25
0,75
0,25
2. Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p(0) = d 5.
p(1) = a + b + c + d 5 (1)
p(- 1) = - a + b - c + d 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(b + d)5 và 2(a + c)5 . 
Vì 2(b + d)5, mà (2, 5) = 1 nên b + d 5 suy ra b5.
p(2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b5 nên 8a + 2c 5.
Kết hợp với 2(a + c)5 6a 5 a 5 vì (6, 5) = 1. Từ đó suy ra c 5.
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,250,250,250,25
3. Vì nên (1)
 Tương tự, ta có: (2)
 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(5,0đ)
1. 
Tam giác ABC cân tại A nên (đối đỉnh)
Do đó: .
0,75
0,75
2. Ta có 
Vì BD = CE nên BC = DE .
Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN
Suy ra BC < MN.
0,5
0,75
0,25
3) Ta chứng minh được: 
Ta lại có: BM = CN. Do đó 
, Mà: suy ra , mà đây là hai góc kề bù nên COAN.
Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh. 
0,75
0,5
0,5
0,25
5
(2,0đ)
Ta có đẳng thức: với mọi a, b.
Kết hợp với: 
Suy ra: 
Do đó 
0,5
0,5
0,5
0,5
Chú ý: 
Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.