Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2016 - 2017 môn: Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017
m¤N: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4,0 điểm)
1. Cho biểu thức .
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A = . 
2. Chứng minh rằng: Nếu thì 
Bài 2 (4,0 điểm)
1. Cho hệ phương trình 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) thỏa mãn x + 5y = 0.
2. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:
 là số hữu tỉ và a2 + b2 + c2 là số nguyên tố
Bài 3 (4,0 điểm)
1. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1 (m là tham số)
a) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
b) Trên parabol (P) lấy 3 điểm phân biệt: A(a, a2), B(b, b2), C(c, c2). 
 Biết rằng a2 – b = b2 – c = c2 – a. 
 Tính giá trị của biểu thức: M = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1).
	2. Giải phương trình: 
Bài 4 (6,0 điểm)
	Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm M khác C và D. Đường tròn đường kính AM cắt cạnh AB tại điểm N khác A. Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn đường kính AM tại E khác D.
a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, N thẳng hàng.
b) Gọi giao điểm của đoạn thẳng MN với DE là H, đoạn thẳng NM cắt đường tròn đường kính CD tại K. Chứng minh rằng MK2 = MH.MN.
c) Gọi F là giao điểm của DE với cạnh BC. Chứng minh rằng MF AC.
Bài 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: . 
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
	Họ và tên thí sinh: .................................................. Số báo danh: ....................Phòng.............
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
BÀI
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
(4đ)
a
ĐKXĐ: 
0.5
0.5
0.5+0.5
b
A = 
0.25
0.25
0.25
x = 4 (tmđkxđ)
0.25
c
Đặt 
0.25
Ta có: 
Bình phương hai vế được:
0.25
Biến đổi ta được: 
0.25
 hay (đpcm)
0.25
2
(4đ)
a
0.5
0.5
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất m 0
0.5
Với m khác 0 hpt có nghiệm duy nhất 
0.5
Để x + 5y = 0 thì m2 + 1 + 5(m + 1) = 0 m = –2, m = –3
0.5
b
Đặt (x, y Z, xy ¹ 0) ay – bx = (by – cx) (*)
0.25
Vì a, b, c, x, y Z ay – bx Z (by – cx) Z
Mà I nên từ (*)
0.25
 acxy = b2xy ac = b2 (vì xy ≠ 0)
0.25
a2 + b2 + c2 = (a + c)2 – 2ac + b2 = (a + c)2 – b2 = (a+c – b)(a+c+b)
0.25
Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố và a+c – b<a+c+b
 a+b – c = 1 a + b + c = a2 + b2 + c2 (1)
Mà a, b, c nguyên dương nên a a2, b b2, c c2	(2)
0.25
Từ (1) và (2) a = b = c = 1, thử lại: Thỏa mãn, kết luận
0.25
3
(4đ)
a
Với m = 1 ta có (d): y = x + 2
Lí luận đưa ra đúng phương trình hoành độ giao điểm: x2 – x – 2 = 0
0.5
Giải đúng tìm được x1 = –1, x2 = 2
0.5
Tìm được tọa độ giao điểm: (–1; 1) và (2; 4)
0.5
b
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 
x2 = mx + m + 1 x2 – mx – m – 1 = 0	(*)
0.5
(P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
0.5
Tìm được m –2.
0.5
c
a2 – b = b2 – c a2 – b2 = b – c 
0.25
0.25
Tương tự: 
0.25
Tính đúng M = –1
0.25
ĐK 
Đặt ta có: 
4x2 + 4x – 3 = y2 + 4y (2x+1)2 = (y+2)2 
y = 2x – 1 hoặc y = -2x – 3 
Với y = 2x – 1 , giải ra được x = 3
Với y = -2x – 3 
4
(6đ)
a
Chứng minh DN là đ/kính của đường tròn đi qua các điểm A, D, M, E, N 
0.75
Chứng minh 
0.5
Chứng minh 
0.5
Chứng minh C, E, N thẳng hàng 
0.75
b
Có: (hq góc nội tiếp ) MN DC
0.5
DKC vuông tại K có KM là đường cao MK2 = MD.MC	(1)
0.5
MHD ~ MCN (gg) MD.MC = MH.MN	(2)
0.5
Từ (1) và (2) MH.MN = MK2 
0.5
c
Chứng minh DCF = CBN (gcg) CF = BN	(3)
0.5
Chứng minh tứ giác BCMN là hình chữ nhật BN = CM	(4)
0.5
Từ (3) và (4) CF = CM CMF vuông cân tại C mà CA là phân giác của góc (t/c hình vuông) CA MF 
0.5
5
(2đ)
+) Nếu ac 0 phương trình có nghiệm.
0.5
+) Nếu ac > 0 a và c cùng dấu, từ b và a cùng dấu
 a, b, c cùng dấu. Vì thế ta chỉ cần xét a, b và c cùng dương là đủ 
0.5
Với a, b, c cùng dương ta có :
0.5
 đpcm
0.5