Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015-2016 môn: Toán 7

PHềNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
MễN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1 (4,0 điểm)
	Cho A = 3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016.
 	a) Tớnh A.
	b) Tỡm chữ số tận cựng của A.
	c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
	a) Tỡm x, biết:	
 b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 4; 5 và cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Bài 3 (3,0 điểm)
	Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
	a) Tỡm a.
	b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Bài 4 (7,0 điểm)
	Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
	a) Chứng minh: DAMC = DABN.
b) Chứng minh: BN ^ CM.
	c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN.
	d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN.
Bài 5 (2,0 điểm) 
Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: 
 Họ và tờn thớ sinh: .......................................................................................................
 Số bỏo danh: .................................................Phũng.....................................................
PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
mÔN: TOÁN 7
(Đỏp ỏn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Bài 1 (4,0 điểm)
	Cho A = 3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016.
 	a) Tớnh A.
	b) Tỡm chữ số tận cựng của A.
	c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao?
Cõu
Nội dung
Điểm
a/
(1,5 đ)
Ta cú: A = 3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016
 3A = 32 + 33 + 34 +  + 32016 + 32017
0,5
Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 +  + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016)
0,5
A = .
0,5
b/
(1,5 đ)
Ta cú: A = (3 + 32 + 33 + 34) +  +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)
 = 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33)
0,75
 = 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013)
0,5
 Suy ra A cú chữ số tận cựng là 0
0,25
c/
(1,0 đ)
Lập luận được A chia hết cho 3
0,25
Lập luận được A khụng chia hết cho 32
0,25
Mà 3 là số nguyờn tố nờn suy ra A khụng là số chớnh phương
0,5
Bài 2 (4,0 điểm)
	a) Tỡm x, biết:	
 b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 4; 5 và cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Cõu
Nội dung
Điểm
a/
(2,0 đ)
Lập luận được > 0.
0,5
Nờn ị = 3 ị 
0,75
ị x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 ị x = 2 hoặc x = 0.
0,5
Vậy x = 2 ; x = 0
0,25
b/
(2,0 đ)
Gọi 3 phõn số cần tỡm lần lượt là thỡ ta cú
 và 
0,5
ị ị 
0,75
Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú:
 = = ị 
0,5
Vậy 3 phõn số cần tỡm là .
0,25
Bài 3 (3,0 điểm)
	Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
	a) Tỡm a.
	b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Cõu
Nội dung
Điểm
a/
(1,5đ)
Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nờn cú:
 a2- a = a(a+1) +4.
0,5
ị a2 - a = a2 +a + 4 ị a = -2.
0,75
Vậy a = -2 thỡ đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
0,25
b/
(1,5đ)
Với a = -2 ta cú hàm số y = f(x) = -2x + 4 
ị f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2.
0,5
Do đú: f(3x- 1) = f(1- 3x) ị -6x + 6 = 6x + 2 ị x = .
0,75
Vậy khi x = thỡ f(3x- 1) = f(1- 3x).
0,25
Bài 4 (7,0 điểm)
	Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
	a) Chứng minh: DAMC = DABN.
b) Chứng minh: BN ^ CM.
	c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN.
	d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN.
Cõu
Nội dung
Điểm
C
A
B
M
N
D
F
E
a/
(2,0đ)
C/minh được (Cựng bằng 900 +).
0,75
MA = AB (DMAB vuụng cõn tại A)
AC = AN ( tam giỏc NAC vuụng cõn tại A)
0,75
ị DAMC = DABN(c-g-c)
0,5
b/
(2,0đ)
Gọi giao điểm của BN với AC là F.
Chỉ ra được ( vỡ DAMC = DABN) 
0,5
 éANF = éFCD ( vỡ DAMC = DABN )
0,5
Từ đú suy ra éFDC = éFAN = 900
Do đú: BN ^ CM.
1,0
c/
(1,5đ)
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng MDN, BDC, MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2.
1,0
Tớnh được MN = cm
0,5
d/
(1,5đ)
Trờn tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD
CM DAMD = DABE (c-g-c)
0,5
 Suy ra AD = AE ị DADE cõn tại A (1)
DAMD = DABE ị ị DADE vuụng tại A (2)
0,75
Từ (1) và (2) ị 
ị DA là phõn giỏc của 
0,25
Bài 5 ( 2,0 điểm) 
Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: 
Cõu
Nội dung
Điểm
1,75
0,25
*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. 
*) Giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. 
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.