Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán 9 - Trường THCS Tự Cường

TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 Môn Toán 9
 Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn: 
Tính giá trị biểu thức: P = 
Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì ta có 
Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 
Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 
Chứng minh rằng: 16
Bài 5( 2 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng: 
Bài 6( 2 điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IA = 2cm, IB = 3cm. Tính độ dài AB
Hướng dẫn giải:
 Bài 1: Từ gt ta suy ra 
Xét hai trường hợp
*/ Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a	c + a = -b
Khi đó P = = = .. = = 1
Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8
 Bài 2: Từ 
 theo giả thiết a + b + c = abc 
 (đpcm)
Bào 3: Áp dụng BĐT Côsi ta có x2 + y2 2xy (1)
	y2 + z2 2yz (2)
	z2 + x2 2zx (3)
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx )
 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
 3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 chia hai vế cho 9 ta được 
 hay 
Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y 2 ta có ( a + b) + c 2
 1 2 1 4( a + b)c nhân hai vế với a + b > 0 ta được:
A + b 4(a + b)2c mà ta chứng minh được (a + b)2 4ab
Do đó a + b 4(4ab)c hay a + b 16abc từ đây suy ra đpcm
Bài 5: 
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt DC tại G
Chứng minh được ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)
 AE = AG
Xét ∆ AGF vuông tại A có AD là đường cao nên ta có
 do đó thay AG = AE ta được
 (đpcm)
Bài 6: 
Kẻ AM AC M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2
Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC
 (2)2 = x.(2x + 3)
 2x2 + 3x – 30 = 0 ( 2x – 5)(x + 4) = 0
 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2)2 = 64 – 20 = 44
 AC = = 2cm AB = 2cm