ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH Bài 1 (5,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 2. Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c R). Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 thì dư 5, chia cho đa thức x + 1 thì dư -4. Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ? Bài 2 (4,0 điểm) 1. Giải phương trình : 2. Giải phương trình nghiệm nguyên : Bài 3 (3,0 điểm) 1. Cho ba số thực a, b, c có tích bằng . Hãy rút gọn biểu thức : 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : Bài 4 (5,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD). 1. Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP 2. Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD. 3. Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC. Bài 5 (2,5 điểm) . . Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh 8 HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH Bài 1 (5,0 điểm) 1. A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 0.25 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 0.25 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144 0.5 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 0.25 = (x2 + x - 7)2 - 169 0.25 = (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13) 0.25 = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) 0.25 = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) 0.25 2. Gọi thương của phép chia F(x) cho x - 2 và x + 1 lần lượt là P(x) và Q(x) Suy ra : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2). P(x) + 5 (1) x3 + ax2 + bx + c = (x + 1). Q(x) - 4 (2) 0.5 Thay x = 2 vào (1) ta có : 8 + 4a + 2b + c = 5 ó 4a + 2b + c = -3 (3) 0.5 Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4 ó a - b + c = -3 (4) 0.5 Từ (3) và (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b 0.5 => a3 = -b3 => a3 + b3 = 0 => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0 0.5 Bài 2 (4,0 điểm) 1. 0.5 0.25 0.25 0.25 ( vì ) 0.25 0.25 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {; } 0.25 2. ĐKXĐ : x0 , y0 0.25 => 2y + 2x + 1 = xy 0.5 ó xy - 2x - 2y - 1 = 0 ó x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0 ó (y - 2)(x - 2) = 5 0.5 Vì x, y Z => x - 2, y - 2 Z. Do đó ta có bảng giá trị : x - 2 1 5 -1 -5 y - 2 5 1 -5 -1 x 3 7 1 -3 y 7 3 -3 1 Thử lại chọn chọn chọn chọn 0.5 Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1) 0.25 Bài 3 (3,0 điểm) 1. Thay = abc ta có : 0.5 0.25 0.25 0.25 = 1 Vậy S = 1 0.25 2. 0.5 Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương và , và ta có : (1) (2) 0.25 Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y 10 => P 8 + 12 + 2 = 22 0.25 Dấu "=" xảy ra ó ó 0.25 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22 ó x = y = 5 0.25 Bài 4 (5,5 điểm) 1. *) Chứng minh tam giác AMN vuông cân - Chứng minh 0.25 - Chứng minh ADN = ABM (g.c.g) => AN = AM (hai cạnh tương ứng) 0.75 - Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) và (giả thiết) => Tam giác AMN vuông cân tại A. 0.5 *) Chứng minh AN2 = NC . NP - Tam giác AMN cân tại A (chứng minh trên) và AP MN (giả thiết) => AP là tia phân giác của => 0.25 - Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) => hay 0.25 - Chứng minh ACN ∽PAN (g.g) => 0.5 2. - Chứng minh PM = PN 0.25 - Chu vi tam giác CMP là : CM + MP + CP = CM + PN + CP (vì MP = NP) 0.25 = CM + PD + DN + CP = (CP + PD) + (BM + CM) (BM = DN vì ADN = ABM) 0.25 = CD + CB = 2BC 0.25 - Chu vi hình vuông ABCD bằng 4BC => Tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD là : 0.5 3. - Tam giác ANQ vuông tại A, có đường cao AD => AN.AQ = AD.NQ (=2SABC) => 0.5 Mà NQ2 = AN2 + AQ2 (ĐL Py-ta-go trong tam giác vuông ANQ) => (vì AM = AN) 0.5 Do hình vuông ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi => không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC. 0.5 Bài 5 (2,5 điểm). . - Đặt SABC = S, SBOC = S1, SCOA = S2, SAOB = S3. - Kẻ AH và OK cùng vuông góc với BC (H, KBC) 0.25 => AH // OK (từ vuông góc đến song song) 0.25 => (hệ quả định lý Ta-let) 0.25 => (ABC và OBC có chung cạnh đáy BC, hai chiều cao tương ứng là AH và OK) 0.25 => 0.25 => 0.25 => (BĐT Cauchy cho 2 số dương và ) 0.25 Vậy : (1) Tương tự : (2) (3) 0.25 Từ (1), (2) và (3) => 0.25 Dấu "=" xảy ra ó S1 = S2 = S3 ó O là trọng tâm của tam giác ABC. 0.25 Chú ý - Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải; Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phần (không làm tròn).
Tài liệu đính kèm: