Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn: Toán 7

PHềNG GD&ĐT HIỆP HềA
TRƯỜNG THCS DANH THẮNG
ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017
MễN: Toỏn 7
Thời gian : 150 phỳt
Cõu 1 ( 4 điểm )
Cho A = + + + 	B = + +..+ 
CMR là một số nguyên.
Tỡm , y thỏa món .
Cõu 2 ( 5 điểm )
CMR: 
Cho a, b, c là ba số thực khỏc 0, thoả món điều kiện: . Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức .
Tỡm một nghiệm của đa thức P(x) = x3 +ax2 + bx + c. Biết rằng đa thức cú nghiệm và a+2b+4c=-12
Cõu 3 ( 4 điểm )
Cho 20 số nguyờn khỏc 0 : a1, a2, a3,  , a20 cú cỏc tớnh chất sau:
* a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương. 
* Tổng của 20 số đú là số õm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. 
 2)	Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn a, b sao cho : 2a + 37 = + b - 45.
Cõu 4 ( 6 điểm )Cho tam giỏc ABC cú gúc B và gúc C là hai gúc nhọn .Trờn tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. 
 a) Chứng minh rằng : BE = CD.
 b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD. Chứng minh A là trung điểm của MN
 c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hỡnh chiếu của B và C trờn tia Ax . Chứng minh BH + CK BC.
 d) Xỏc định vị trớ của tia Ax để tổng BH + CK cú giỏ trị lớn nhất.
Cõu 5 ( 1 điểm )
Cho 4 số khụng õm a, b, c, d thỏa món a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ 4 số này. S cú thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu?
 Hết ..
ĐÁP ÁN
Cõu 1
A = = 
 = ( 1 + +) – 
 = 
 = B = => 58B=
B = 
2)
Đặt 
 Ta cú nờn 
Vậy là kết quả cần tỡm.
Cõu 2
	(0,5đ)
	...................	
2)
+Nếu a+b+c 0
 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ,ta cú:
= = 1
mà = 2
=> =2
Vậy B ==8
+Nếu a+b+c = 0
 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ,ta cú:
= = 0
mà = 1
=> =1
Vậy B ==1
3)
Do đa thức cú nghiệm nờn gọi d là một nghiệm của đa thức đó cho.
Ta cú P(x) = (x-d)(x2 + mx+n) =x3 +mx2 +nx – dx2 – dmx – dn
 = x3 + (m-d)x2 + (n-dm)x –dn
Cõn bằng hệ số ta cú: m –d =a ; n-dm = b; dn = -c
Thay a,b,c vào điều kiện đề bài đó cho a+2b+4c=-12 ta cú: 
m-d + 2n-dm- 4dn =- 12 => m-d + 2n-2dm- 4dn =- 12
=>d-4n-2m-1+ m +2n=-12=>2 d-4n-2m-1+ 2m +4n =-1
=>2 d-4n-2m-1 =(-1-4n-2m) => d = 12
Cõu 3 
1)
Ta cú : a1 + (a2 + a3 + a4) +  + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ;  ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0. 
Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) +  + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) a13 + a14 < 0. 
Mặt khỏc, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0. 
Từ cỏc điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm).
2)
Nhận xột: Với x ≥ 0 thỡ + x = 2x
Với x < 0 thỡ + x = 0. Do đú + x luụn là số chẵn với " xẻZ.
Áp dụng nhận xột trờn thỡ + b – 45 là số chẵn với b ẻ Z.
Suy ra 2a + 37 là số chẵn ị 2a lẻ Û a = 0 . 
Khi đú + b – 45 = 38
+ Nếu b < 45, ta cú - (b – 45) + b – 45 = 38 Û 0 = 38 (loại)
+ Nếu b ≥ 45 , ta cú 2(b – 45) = 38 Ûb – 45 = 19 Û b = 64 (TM)
vậy (a; b) = (0; 64)
Cõu 4
 a
  c/m được ABE = ADC (c.g.c) 
0,5
  BE = DC ( 2 cạnh tương ứng)
0,5
 b
 c/m được ABM = ADN (c.g.c) AM = AN 
 và 
0,5
 Mà 
0,5
 Vậy M,A,N thẳng hàng.
0,5
 c
 Gọi I là giao điểm của BC và Ax, ta cú 
0,5
 BH + CK BI + CI = BC
0,5
 d
 Theo cõu c) BH + CK BC nờn giỏ trị lớn nhất của BH+ CK bằng BC khi BH = BI và CK = CI
0,5
 HI; KI
0,5
 Do đú Ax BC
0,5
Cõu 5
Giả sử khi đú
Do khi c = d = 0, lỳc đú a + b = 1.
Do ta cú S = 2a + (a + b) = 2a + 1 2.1 + 1 hay S 3
Kết luận.