Đề khảo sát chất lượng môn Toán 9 năm 2017 - Trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

Tailieutructuyen.vn 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 
MÔN TOÁN 9 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM NĂM 2017 
Câu 1) Cho 2 biểu thức 7 2 3 3 36,
92 1 3 3
x x xA B
xx x x
  
   
  
 với 0, 9x x  . 
a) Rút gọn B , tìm x để A B . 
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên dương. 
Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn 
chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. 
Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol   2:P y x  và đường thẳng   2: 2 1d y x m   
a) Khi 3m   , chứng tỏ rằng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt ,A B . Từ đó tính 
diện tích tam giác OAB . 
b) Với giá trị nào của m thì  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt ,D E sao cho khoảng cách từ 
D đến trục Oy bằng khoảng cách từ E đến trục Oy . 
Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  ;O R đường cao ,AD BE cắt nhau tại H , BE kéo 
dài cắt  O tại F . 
a) Chứng minh: Tứ giác CDHE nội tiếp. 
b) Chứng minh: Tam giác AHF cân. 
c) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: M E là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 
tiếp tam giác CDE . 
d) Giả sử BC cố định và 3BC R , xác định vị trí A trên đường tròn để .DH DA lớn 
nhất. 
Câu 5) Cho 2 số thực dương ,x y sao cho 2 4xy x y   . Tìm GTNN của 2 2
1 1P xy
x y
   . 
Tailieutructuyen.vn 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1) Cho 2 biểu thức 7 2 3 3 36,
92 1 3 3
x x xA B
xx x x
  
   
  
 với 0, 9x x  . 
c) Rút gọn B , tìm x để A B . 
d) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên dương. 
Giải: 
a) Ta có: 
      
     
3 3 3 3 363 3 36 12 36 12
93 3 33 3 3 3
x x x xx x xB
xx x xx x x x
       
     
     
A B      12 7 2 12 2 1 3 7 2 7 5 18 0
3 2 1
x x x x x x
x x

         
 
  
2
2 7 9 0 2 49
7
x
x x x x
x
 
          

(TMĐK). 
b) Ta có : 
 
 
 
 
7 11 72 1 2 1 72 2 2
22 1 2 1
x x
x x
  
 
 
. Vì A là số nguyên dương nên ta có: 
170
22
A
A
A

    
 . 
TH 1: 7 2 91 1 5 3
252 1
xA x x
x

      

 thỏa mãn điều kiện. 
TH 2: 2A  7 2 162 3 4
92 1
x x x
x

     

 thỏa mãn điều kiện. 
Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn 
chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó. 
Giải: 
Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m) , điều kiện 7x  . 
Tailieutructuyen.vn 
Chiều rộng hình chữ nhật là: 7x  (m). Vì độ dài đường chéo là 13 m nên theo định lý Pitago ta 
có:     22 2 27 13 2 14 120 0 12 5 0 12x x x x x x x             ( do 7x  ). 
Đối chiếu với điều kiện ta thấy 12x  thỏa mãn điều kiện. Vậy chiều dài hình chữ nhật là 12m, 
chiều rộng hình chữ nhật là 5 m. 
Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol   2:P y x  và đường thẳng   2: 2 1d y x m   
c) Khi 3m   , chứng tỏ rằng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt ,A B . Từ đó tính 
diện tích tam giác OAB . 
d) Với giá trị nào của m thì  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt ,D E sao cho khoảng cách từ 
D đến trục Oy bằng khoảng cách từ E đến trục Oy . 
Giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là: 2 2 2 22 1 2 1 0x x m x x m         . 
a) Khi 3m   thì 2 2 2 0x x   , ta có ' 1 2 3 0     và nên phương trình luôn có 2 
nghiệm phân biệt 1 2,x x . Hay  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt ,A B . 
Theo hệ thức Viet ta có: 1 2. 2 0x x    nên hai giao điểm ,A B nằm về 2 phía trục Oy , giả sử 
   1 1 2 2; , ;A x y B x y với 1 20x x  ta có hình vẽ: 
Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của ,A B lên trục Oy thì 1 1AH x x   , 
2 2BK x x  , đường thẳng  d cắt trục Oy 
tại  0; 2 2I OI   . 
Ta có 1 1. .
2 2OAB AOI BOI
S S S AH OI BK OI    
 2 1 2 1
1 .2
2
x x x x    . Suy ra 
   2 22 2 1 1 2 1 24OABS x x x x x x     . 
Theo hệ thức Viet ta có: 1 2 1 22, 2x x x x     suy ra 
2 12 2 3
OAB OAB
S S   . 
Tailieutructuyen.vn 
b) Phương trình hoành độ giao điểm 
của  d và  P là: 2 22 1x x m     
2 22 1 0x x m    . Ta có '  2m , để 
 d cắt  P tại 2 điểm phân biệt thì ' 0  
2 0 0m m    . Khi đó 2 giao điểm 
   1 1 2 2; , ;D x y E x y , gọi ,M N lần lượt là 
hình chiếu vuông góc của ,D E lên trục Oy 
thì khoảng cách từ ,D E đến trục Oy tương ứng 
là độ dài của đoạn thẳng ,DM EN . Ta có: 1DM x , 2EN x , yêu cầu bài toán tương đương 
với 1 2 1 22 2 0x x x x    (*), do vai trò ,D E như nhau nên điều kiện (*) có thể viết lại 
thành:     22 21 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 0 2 2 5 0 2 4 5 0x x x x x x x x x x x x x x              
Theo hệ thức Viet ta có: 1 2 2
1 2
2
1
x x
x x m
  

 
 suy ra  21 2 1 2 1 22 4 5 0x x x x x x     
 2 28 4 1 5 1 0m m      (1) . 
Trường hợp 1: 21 0 1m m    hoặc 1m   đẳng thức (1) trở thành:
 2 2 2 41 4 4 0 3m m m       loại. 
Trường hợp 2: 21 0 1 1m m      đẳng thức (1) trở thành: 
   2 2 2 1 15 1 4 1 8 0 9 3m m m m          thỏa mãn điều kiện. 
Tóm lại 1
3
m   là các giá trị cần tìm. 
Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  ;O R đường cao ,AD BE cắt nhau tại H , BE kéo 
dài cắt  O tại F . 
e) Chứng minh: Tứ giác CDHE nội tiếp. 
f) Chứng minh: Tam giác AHF cân. 
Tailieutructuyen.vn 
g) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh: M E là tiếp tuyến của đường tròn ngoại 
tiếp tam giác CDE . 
h) Giả sử BC cố định và 3BC R , xác định vị trí A trên đường tròn để .DH DA lớn 
nhất. 
Giải: 
a) Do   090HDC HEC  nên 4 điểm 
, , ,C D H E cùng nằm trên 1 đường tròn đường 
kính HC hay tứ giác CDHE nội tiếp. 
gọi I là trung điểm của HC thì CDHE nội tiếp. 
đường tròn ;
2
HCI  
 
 . 
b) Ta có  F AC FBC (cùng chắn cung FC ). 
Lại có  EBC DAC (cùng phụ với ACB ) suy ra  F AC DAC , tam giác AHF có AE là 
đường cao đồng thời cũng là trung tuyến nên AHF là tam giác cân. 
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE . 
Tam giác AEB vuông tại E , M là trung điểm cạnh huyền AB nên MA ME  
 M EA M AE (2), tam giác HEC vuông tại C có I là trung điểm cạnh huyền HC nên 
IE IC suy ra  IEC ICE (2). Từ (2),(3) ta có:     090M EA IEC M AE ICE    suy ra M E 
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . 
d) Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông ACD ta có:  HBD DAC (cùng phụ 
ACB ) suy ra BHD ACD  (g.g) . .BD AD DH DA BDCD
HD CD
    . 
Ta có  
2 2 23.
4 4 4
BD CD BC RBDCD

   suy ra 
23.
4
RDH DA  , dấu đẳng thức xảy ra khi và 
chỉ khi BD CD ABC   cân tại A , hay A là điểm chính giữa cung lớn BC . 
Câu 5) Cho 2 số thực dương ,x y sao cho 2 4xy x y   . Tìm GTNN của 2 2
1 1P xy
x y
   . 
Tailieutructuyen.vn 
Giải: 
Ta có    
2 2 3 3 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 21 1 4 18 16x y xy xy xy x y x y xyP xy xy xy
x y x y x y x y
      
        . 
Từ giả thiết ta có: 2 4 0 2xy x y xy      . Ta cũng có: 
       2 2 2 22 4 4 5 4 0 1 4 0xy x y xy x y xy xy xy            do 2xy  suy ra 4xy  . 
Ta chứng minh: 
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2
4 18 16 9 2 5 18 16 0
2
x y x y xy x y x y xy
x y
  
       
  2 24 2 3 4 0xy x y xy    . Do 4xy  nên bất đẳng thức luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi 
và chỉ khi 
4
2
xy
x y
x y

  

 . Vậy GTNN của P là 9
2
 .